Integral de volum

En matemàtiques -i en particular en càlcul multivariable- integral de volum és una integral sobre un domini tri-dimensional, és a dir, un cas especial de les integrals múltiples. Les integrals de volum són especialment importants en la física per a diverses aplicacions, per exemple, per calcular densitats de flux.

En coordenades

Tembé es pot definir com una integral triple en una regió D a R³ d'una funció $f(x,y,z),$ i s'escriu normalment com:

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz.$

Una integral de volum és, en coordenades cilíndriques

$\underset{D}{\iiint }f(\rho ,\phi ,z)\rho d\rho d\phi dz,$

Element volumètric diferencial en coordenades esfèriques

i una integral volumètrica en coordenades esfèriques (utilitzant el conveni ISO pels angles, amb $\phi$ com l'azimut i $\theta$ medit de l'eix polar té la forma

$\underset{D}{\iiint }f(r,\theta ,\phi )r^2\sin \theta drd\theta d\phi .$

Exemple

Integrar la funció $f(x,y,z)=1$ sobre un cub unitari porta al següent resultat:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}1dxdydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-0)dydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-0)dz=1-0=1$

Així doncs el volum d'un cub unitat és 1, com s'esperava. Això és més aviat trivial, i una integral de volum dona molt més joc. Per exemple, si ternim una funció escalar $\begin{array}{cc}f:{ℝ}^3& \to ℝ\end{array}$ que descriu la densitat d'un cub en un punt donat $(x,y,z)$ com$f=x+y+z$ llavors, mitjançant la integral de volum, s'obtindrà la massa total del cub:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+y+z)dxdydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\frac{1}{2}+y+z)dydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1+z)dz=\frac{3}{2}$

Vegeu també

• Divergence theorem
• Surface integral

Enllaços externs

• Plantilla:Springer
• Plantilla:Mathworld