Kappa (corba)

En geometria, la corba kappa o la corba de Gutschoven és una corba algebraica bidimensional que s'assembla a la lletra grega Κ (kappa).

Fent ser vir el Sistema de coordenades cartesianes es pot expressar com:

y^{2} (x^{2} + y^{2}) = a^{2} x^{2}

\begin{matrix} x & = & a \cos t \cot t \\ y & = & a \cos t \end{matrix}

En coordenades polars la seva equació és fins i tot més simple:

r = a \tan θ

Té dues asímptotes verticals a $x = \pm a$ , que es mostren com rectes blaves a traços a la figura de la dreta.

La curvatura de la corba kappa és:

κ (θ) = \frac{8 (3 - \sin^{2} θ) \sin^{4} θ}{a {[\sin^{2} (2 θ) + 4]}^{\frac{3}{2}}}

L'angle tangent:

ϕ (θ) = - \arctan [\frac{1}{2} \sin (2 θ)]

La corba de kappa va ser estudiada per primera vegada per Gérard van Gutschoven al voltant de 1662. Altres matemàtics famosos que l'han estudiat inclouen Isaac Newton i Johann Bernoulli.

Les seves tangents varen ser calculades per primera vegada per Isaac Barrow al Plantilla:Segle.

Derivada

Emprant diferenciació implícita, és possible trobar que la derivada de la corba kappa és:

2 y \frac{d y}{d x} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (2 x + 2 y \frac{d y}{d x}) = 2 a^{2} x

\frac{d y}{d x} (2 y x^{2} + 4 y^{3}) + 2 x y^{2} = 2 a^{2} x

\frac{d y}{d x} = \frac{x (a^{2} - y^{2})}{y (x^{2} + 2 y^{2})}