Lema de Chandrasekhar-Wentzel

En càlcul vectorial, el lema de Chandrasekhar-Wentzel va ser derivat per Subrahmanyan Chandrasekhar i Gregor Wentzel el 1965 mentre estudiaven l'estabilitat de la rotació d'una gota d'un líquid. El lema diu que si $𝐒$ és una superfície delimitada per un contorn tancat simple $C$, llavors

$𝐋={\oint }_C𝐱\times (d𝐱\times 𝐧)=-\underset{𝐒}{\int }(𝐱\times 𝐧)\mathrm{\nabla }\cdot 𝐧dS.$

Aquí, $𝐱$ és el vector de posició i $𝐧$ és la unitat normal a la superfície. Una conseqüència immediata és que si $𝐒$ és una superfície tancada, llavors la integral de línia tendeix a zero, donant lloc al resultat,

$\underset{𝐒}{\int }(𝐱\times 𝐧)\mathrm{\nabla }\cdot 𝐧dS=0,$

o, en notació d'índex, tenim

$\underset{𝐒}{\int }{x}_j\mathrm{\nabla }\cdot 𝐧d{S}_k=\underset{𝐒}{\int }{x}_k\mathrm{\nabla }\cdot 𝐧d{S}_j.$

És a dir el tensor

$T_{ij}=\underset{𝐒}{\int }{x}_j\mathrm{\nabla }\cdot 𝐧d{S}_i$

definida en una superfície tancada és sempre simètrica, és a dir, $T_{ij}=T_{ji}$.

Demostració

Escrivim el vector en notació d'índex, però s'evitarà la convenció de sumació a tota la demostració. Aleshores es pot escriure el costat esquerre

$L_i={\oint }_C[d{x}_i(n_i{x}_j+n_k{x}_k)+d{x}_j(-n_i{x}_j)+d{x}_k(-n_i{x}_k)].$

Convertint la integral de línia en integral de superfície mitjançant el teorema de Stokes, obtenim

$L_i=\underset{𝐒}{\int }\{n_i[\frac{\partial }{\partial x_j}(-n_i{x}_k)-\frac{\partial }{\partial x_k}(-n_i{x}_j)]+n_j[\frac{\partial }{\partial x_k}(n_j{x}_j+n_k{x}_k)-\frac{\partial }{\partial x_i}(-n_i{x}_k)]+n_k[\frac{\partial }{\partial x_i}(-n_i{x}_j)-\frac{\partial }{\partial x_j}(n_j{x}_j+n_k{x}_k)]\}dS.$

Realitzem la diferenciació necessària i després d'alguna reordenació, obtenim

$L_i=\underset{𝐒}{\int }[-\frac{1}{2}{x}_k\frac{\partial }{\partial x_j}(n_i^2+n_k^2)+\frac{1}{2}{x}_j\frac{\partial }{\partial x_k}(n_i^2+n_j^2)+n_j{x}_k(\frac{\partial n_i}{\partial x_i}+\frac{\partial n_k}{\partial x_k})-n_k{x}_j(\frac{\partial n_i}{\partial x_i}+\frac{\partial n_j}{\partial x_j})]dS,$

o, dit d'una altra manera,

$L_i=\underset{𝐒}{\int }[\frac{1}{2}(x_j\frac{\partial }{\partial x_k}-x_k\frac{\partial }{\partial x_j})|𝐧{|}^2-(x_j{n}_k-x_k{n}_j)\mathrm{\nabla }\cdot 𝐧]dS.$

I llavors $|𝐧{|}^2=1$, obtenint

$L_i=-\underset{𝐒}{\int }(x_j{n}_k-x_k{n}_j)\mathrm{\nabla }\cdot 𝐧dS,$

demostrant així el lema.