Lema de Jordan

En anàlisi complexa, el lema de Jordan és un resultat usat freqüentment en conjunció amb el teorema dels residus per avaluar integrals de contorn i integrals impròpies. El nom prové del matemàtic francès Camille Jordan.

Enunciat

Considerem una funció contínua f amb valors complexos, definida en un contorn semicircular

$C_R=\{z:z=R\cdot e^{i\theta },\theta \in [0,\pi ]\}$

de radi R > 0 situat en el semiplà superior, centrat a l'origen. Si la funció f és de la forma

$f(z)=e^{iaz}g(z),z\in C_R,$

amb el paràmetre a > 0, llavors el lema de Jordan estableix la següent fita superior per la integral de contorn:

$|\underset{C_R}{\int }f(z)dz|\le \frac{\pi }{a}\underset{\theta \in [0,\pi ]}{\max }\left|g\right(R\cdot e^{i\theta }\left)\right|.$

També és vàlid un resultat similar per un contorn semicircular en el semiplà inferior quan a < 0.

Observacions

• Si f està definida i és contínua en el contorn semicircular C_R per qualsevol R gran i

$M_R:=\underset{\theta \in [0,\pi ]}{\max }\left|g\right(R\cdot e^{i\theta }\left)\right|\to 0\text{quan }R\to \mathrm{\infty },(*)$

llavors pel lema de Jordan

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{C_R}{\int }f(z)dz=0.$

• Pel cas a = 0, vegeu el lema d'estimació.

• Comparant amb el lema d'estimació, la fita superior en el lema de Jordan no depèn de forma explícita de la longitud del contorn C_R.

Aplicació del lema de Jordan

El camí C és la concatenació dels camins C₁ i C₂.

El lema de Jordan proveeix d'una forma senzilla per calcular la integral al llarg de l'eix real de funcions Plantilla:Nowrap holomorfes en el semiplà superior i contínues en el semiplà superior tancat, excepte possiblement un nombre finit de nombres no-reals z₁, z₂, ..., z_n. Considerem el contorn tancat C, que és la concatenació dels camins C₁ i C₂ mostrats a la figura. Per definició,

${\oint }_{C}f(z)dz=\underset{C_1}{\int }f(z)dz+\underset{C_2}{\int }f(z)dz.$

Com que en C₂ la variable z és real, la segona integral és real:

$\underset{C_2}{\int }f(z)dz=\underset{-R}{\overset{R}{\int }}f(x)dx.$

Es pot calcular el membre esquerre de la igualtat mitjançant el teorema dels residus, obtenint així, per tot R més gran que el màxim dels |z₁|, |z₂|, ..., |z_n|,

${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f,z_k)$

on Plantilla:Nowrap simbolitza el residu de f a la singularitat z_k. Per tant, si f satisfà la condició (*), llavors prenent el límit quan R  tendeix a infinit, la integral de contorn sobre C₁ s'anul·la pel lema de Jordan, i obtenim el valor de la integral impròpia

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f,z_k).$

Exemple

La funció

$f(z)=\frac{e^{iz}}{1+z^2},z\in ℂ\setminus \{i,-i\},$

satisfà la condició del lema de Jordan amb a = 1 per qualsevol R > 0 amb R ≠ 1. Notem que, per R > 1,

$M_R=\underset{\theta \in [0,\pi ]}{\max }\frac{1}{|1+R^2{e}^{2i\theta }|}=\frac{1}{R^2-1}$

llavors es compleix (*). Com que l'única singularitat de f en el pla superior és a z = i, quan apliquem el lema de Jordan obtenim

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{ix}}{1+x^2}dx=2\pi i\mathrm{Res}(f,i).$

Com que z = i és un pol simple de f i Plantilla:Nowrap = Plantilla:Nowrap, obtenim

$\mathrm{Res}(f,i)=\underset{z\to i}{\lim }(z-i)f(z)=\underset{z\to i}{\lim }\frac{e^{iz}}{z+i}=\frac{e^{-1}}{2i}$

amb la qual cosa

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos x}{1+x^2}dx=\mathrm{Re}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{ix}}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{e}.$

Aquest resultat il·lustra com algunes integrals difícils de calcular es poden resoldre mitjançant tècniques d'anàlisi complexa.

Demostració del lema de Jordan

Per definició d'integral curvilínia complexa,

$\begin{array}{cc}\underset{C_R}{\int }f(z)dz& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}g(R\cdot e^{i\theta })e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}iR\cdot e^{i\theta }d\theta \\ & =R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}g(R\cdot e^{i\theta })e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}i{e}^{i\theta }d\theta .\end{array}$

La desigualtat

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

ens dona

$\begin{array}{cc}{I}_R:=|\underset{C_R}{\int }f(z)dz|& \le R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|g(R\cdot e^{i\theta })e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}i{e}^{i\theta }|d\theta \\ & =R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|g(R\cdot e^{i\theta })|e^{-aR\sin \theta }d\theta .\end{array}$

Usant M_R segons la definició de (*) i la simetria Plantilla:Nowrap = Plantilla:Nowrap, obtenim

$I_R\le R{M}_R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-aR\sin \theta }d\theta =2R{M}_R\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{e}^{-aR\sin \theta }d\theta .$

Com que el gràfic de Plantilla:Nowrap és una funció còncava en l'interval Plantilla:Nowrap, el gràfic de Plantilla:Nowrap queda per sobre de la recta que connecta els seus extrems; llavors

$\sin \theta \ge \frac{2\theta }{\pi }$

per qualsevol Plantilla:Nowrap, que al seu torn implica que

$I_R\le 2R{M}_R\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{e}^{-2aR\theta /\pi }d\theta =\frac{\pi }{a}(1-e^{-aR})M_R\le \frac{\pi }{a}{M}_R.$

Referències

• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Lema d'estimació