Lema de Rasiowa-Sikorski

En teoria axiomàtica de conjunts, el lema Rasiowa-Sikorski, que porta el nom d'Helena Rasiowa i Roman Sikorski, és un dels resultats més fonamentals utilitzats en teoria de forcing.

Donat un conjunt parcialment ordenat $(\mathbb{P},\le )$, un subconjunt $D$ de $\mathbb{P}$ s'anomena dens en $\mathbb{P}$ si per a qualsevol $p\in \mathbb{P}$ hi ha $d\in D$ tal que $d\le p$. Si $𝒟$ és una col·lecció de subconjunts densos de $\mathbb{P}$, aleshores un filtre $G$ en $\mathbb{P}$ s'anomena $𝒟$-genèric si $G\cap D\ne \mathrm{\varnothing }$ per a tot $D\in 𝒟$.

Enunciat

Sigui $(\mathbb{P},\le )$ un conjunt parcialment ordenat i $p\in \mathbb{P}$. Llavors per a tota col·lecció numerable $𝒟$ de subconjunts densos de $\mathbb{P}$, existeix un filtre $𝒟$-genèric $G$ en $\mathbb{P}$ tal que $p\in G$.

Demostració

Donada $p\in \mathbb{P}$, considerem una enumeració $\{D_n:n\in \mathbb{N}\}$ de $𝒟$. Suposem que $p_0=p$. Llavors, per a tota $n\in \mathbb{N}$, per densitat, podem trobar $p_{n+1}\le p_n$ tal que $p_{n+1}\in D_{n+1}$. El conjunt $G=\{q\in \mathbb{P}:q\ge p_n\text{ per a alguna }n\in \mathbb{N}\}$ és un filtre $𝒟$-genèric en $\mathbb{P}$ tal que $p\in G$.

Vegeu també

• Teorema de categories de Baire

Bibliografia

• Kunen, K. (2014). Set theory an introduction to independence proofs. Elsevier.
• Jech, T. (2003). Set theory: The third millennium edition, revised and expanded. Springer Berlin Heidelberg.