Lemniscata de Gerono

En geometria algebraica, la lemniscata de Gerono, és una corba algebraica plana de grau quatre i gènere zero amb la forma d'un símbol $\infty$ , o de la xifra vuit. Té equació

x^{4} - x^{2} + y^{2} = 0 .

Com que la corba és del gènere zero, pot ser parametrizada per funcions racionals; una manera de fer-ho és

x = \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}, y = \frac{2 t (t^{2} - 1)}{(t^{2} + 1)^{2}} .

A diferència de la Lemniscata de bernoulli o la lemniscata de Booth, el punt doble a l'origen de la lemniscata de Gerono no és un punt doble ordinari, en tenir una invariant de delta de dos. La corba dual (vegeu fórmula de Plücker), dibuixada a sota, té per això un caràcter una mica diferent. La seva equació és

(x^{2} - y^{2})^{3} + 8 y^{4} + 20 x^{2} y^{2} - x^{4} - 16 y^{2} = 0 .

Referències