Llei de Morrie

La llei de Morrie és una identitat trigonomètrica singular. El seu nom s'atribueix al físic Richard Feynman, que solia referir-se a aquesta identitat amb aquest nom. Feynman va triar aquest nom perquè la va aprendre durant la seva infantesa a través d'un noi anomenat Morrie Jacob i la va recordar tota la seva vida.

Identitat i generalització

$\cos (20^{\circ })\cdot \cos (40^{\circ })\cdot \cos (80^{\circ })=\frac{1}{8}.$

És un cas especial de la identitat, més general,

$2^n\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{\sin (\alpha )}$

amb n = 3 i α = 20° i el fet que

$\frac{\sin (160^{\circ })}{\sin (20^{\circ })}=\frac{\sin (180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin (20^{\circ })}=1,$

ja que

$\sin (180^{\circ }-x)=\sin (x).$

Identitats similars

També existeix una identitat similar amb la funció sinus:

$\sin (20^{\circ })\cdot \sin (40^{\circ })\cdot \sin (80^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{8}.$

A més, si es divideix la segona identitat per la primera, s'obté:

$\tan (20^{\circ })\cdot \tan (40^{\circ })\cdot \tan (80^{\circ })=\sqrt{3}=\tan (60^{\circ }).$

Demostració

Demostració geomètrica de la llei de Morrie

Enneàgon regular $ABCDEFGHI$ amb el centre de la seva circumferència circumscrita $O$. Calculant els angles:



$\begin{array}{cc}40^{\circ }& =\frac{360^{\circ }}{9}\\ 70^{\circ }& =\frac{180^{\circ }-40^{\circ }}{2}\\ \alpha & =180^{\circ }-90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }\\ \beta & =180^{\circ }-90^{\circ }-(70^{\circ }-\alpha )=40^{\circ }\\ \gamma & =140^{\circ }-\beta -\alpha =80^{\circ }\end{array}$

Consideri's l'enneàgon regular $ABCDEFGHI$ amb costat de longitud $1$ i sigui $M$ el punt mig del costat $AB$, $L$ el punt mig de $BF$ i $J$ el punt mig del costat $BD$. Els angles interiors de l'enneàgon són tots de $140^{\circ }$ i a més $\gamma =\mathrm{\angle }FBM=80^{\circ }$, $\beta =\mathrm{\angle }DBF=40^{\circ }$ i $\alpha =\mathrm{\angle }CBD=20^{\circ }$ (vegeu la figura). Aplicant la definició del cosinus en els triangles rectangles $\mathrm{△}BFM$, $\mathrm{△}BDL$ i $\mathrm{△}BCJ$ s'obté una demostració de la llei de Morrie:

$\begin{array}{cc}1& =|AB|\\ & =2\cdot |MB|\\ & =2\cdot |BF|\cdot \cos (\gamma )\\ & =2^2|BL|\cos (\gamma )\\ & =2^2\cdot |BD|\cdot \cos (\gamma )\cdot \cos (\beta )\\ & =2^3\cdot |BJ|\cdot \cos (\gamma )\cdot \cos (\beta )\\ & =2^3\cdot |BC|\cdot \cos (\gamma )\cdot \cos (\beta )\cdot \cos (\alpha )\\ & =2^3\cdot 1\cdot \cos (\gamma )\cdot \cos (\beta )\cdot \cos (\alpha )\\ & =8\cdot \cos (80^{\circ })\cdot \cos (40^{\circ })\cdot \cos (20^{\circ })\end{array}$

Demostració algebraica de la identitat generalitzada

Recordeu la fórmula de l'angle doble per a la funció sinus

$\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha ).$

Si s'aïlla $\cos (\alpha )$

$\cos (\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}.$

Segueix:

$\begin{array}{cc}\cos (2\alpha )& =\frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\\ \cos (4\alpha )& =\frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}\\ & ⋮\\ \cos \left(2^{n-1}\alpha \right)& =\frac{\sin \left(2^n\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}.\end{array}$

Si es multipliquen totes aquestes expressions juntes s'obté:

$\cos (\alpha )\cos (2\alpha )\cos (4\alpha )\cdots \cos \left(2^{n-1}\alpha \right)=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}\cdot \frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\cdot \frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}\cdots \frac{\sin \left(2^n\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}.$

Els numeradors i denominadors del mig s'anul·len deixant només el primer denominador, una potència de 2 i el numerador final. Noti's que hi ha n termes en tots dos costats de l'expressió. És a dir,

$\prod _{k=0}^{n-1}\cos \left(2^k\alpha \right)=\frac{\sin \left(2^n\alpha \right)}{2^n\sin (\alpha )},$

que és equivalent a la generalització de la llei de Morrie.

Bibliografia complementària

• Glen Van Brummelen: Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020, Plantilla:ISBN, pp. 79-83
• Ernest C. Anderson: Morrie's Law and Experimental Mathematics. In: Journal of recreational mathematics, 1998

Enllaços externs

• Plantilla:Mathworld