Lleis del moviment d'Euler

En mecànica clàssica, les lleis del moviment d'Euler són equacions de moviment que estenen les lleis del moviment de Newton per una partícula puntual al moviment d'un sòlid rígid. Leonhard Euler les va formular uns 50 anys després que Isaac Newton formulés les seves lleis.

Visió general

Primera llei d'Euler

La primer llei d'Euler afirma que el moviment lineal d'un cos, Plantilla:Math (també anotat Plantilla:Math) és igual al producte de la massa del cos Plantilla:Math i la velocitat del seu centre de massa Plantilla:Math:

$𝐩=m{𝐯}_{\mathrm{c}\mathrm{m}}$.

Les forces internes entre les partícules que formen el cos no contribueixen a canviar el moment total del cos, en haver-hi forces iguals que s'hi oposen suprimint-ne l'efecte. La llei també es presenta com:

$𝐅=m{𝐚}_{\mathrm{c}\mathrm{m}}$.

on  Plantilla:Math és l'acceleració del centre de massa i Plantilla:Math és la força total aplicada al cos. És simplement la derivada respecte al temps de l'equació prèvia (Plantilla:Math és una constant).

Segona llei d'Euler

La segona llei d'Euler afirma que la taxa de canvi del moment angular Plantilla:Math (de vegades anomenat Plantilla:Math) en un punt fixat en un sistema de referència inercial (sovint el centre de massa del cos), és igual a la suma dels moments de força externs (parell de forces) que actuen en el cos Plantilla:Math (també anotat Plantilla:Math o Plantilla:Math) en el punt:

$𝐌=\frac{d𝐋}{dt}$.

Noti's que aquesta fórmula només es pot aplicar si Plantilla:Math i Plantilla:Math es consideren respecte a un marc inercial fix o en un marc paral·lel al marc d'inèrcia però fixat en el centre de massa. Per cossos rígids, traslladats i rotats només en 2D, això es pot expressar com:

$𝐌={𝐫}_{\mathrm{c}\mathrm{m}}\times {𝐚}_{\mathrm{c}\mathrm{m}}m+I\mathit{\alpha }$,

on r cm és el vector posició del centre de massa respecte al punt on els moments es sumen, Plantilla:Math és l'acceleració angular del cos respecte al seu centre de massa, i I és el moment d'inèrcia del cos sobre el seu centre de massa.

Explicació i derivació

La distribució de les forces internes en un cos deformable no és necessàriament igual pertot arreu, per exemple, les tensions varien d'un punt a un altre. Aquesta variació de les forces internes al llarg del cos és regida segons per la segona llei del moviment de Newton, sobre la conservació del moment lineal i el moment angular, que per simplificar són aplicats a una partícula de massa però s'estenen en la mecànica dels medis continus a un cos de massa distribuïda contínuament. Per cossos continus aquestes lleis són anomenades les lleis del moviment d'Euler. Si s'entén un cos com la suma de partícules discretes, cadascun dels quals regit per les lleis del moviment de Newton, llavors les equacions d'Euler es poden derivar a partir de les lleis de Newton. Les equacions d'Euler poden, tanmateix, considerar-se axiomes que descriuen les lleis de moviment per a cossos extensos, independentment de qualsevol distribució de partícules.

La força total aplicada a un cos continu de massa m, densitat Plantilla:Math, i Plantilla:Matholum V, és la integral de volum sobre el volum del cos:

${𝐅}_B=\underset{V}{\int }𝐛dm=\underset{V}{\int }𝐛\rho dV$

on Plantilla:Math és la força que actua en el cos per unitat de massa (amb dimensions d'acceleració, anomenat eeeòniament "força de cos"), i Plantilla:Math és la massa d'un element infinitesimalment petita del cos.

El forces del cos i de contacte que actuen en el cos porten als moments corresponents d'aquelles forces, en relació a un punt donat. Per tant, el moment total aplicat Plantilla:Math respecte a l'origen ve donat com:

$𝐌={𝐌}_B+{𝐌}_C$

on Plantilla:Math i Plantilla:Math indiquen respectivament els moments causats per les forces del cos i les de contacte.

Llavors, la suma de les forces aplicades i els moments (respecte a l'origen de coordenades del sistema) que actuen en el cos es pot expressar com la suma d'un volum i la integral de superfície:

$𝐅=\underset{V}{\int }𝐚dm=\underset{V}{\int }𝐚\rho dV=\underset{S}{\int }𝐭dS+\underset{V}{\int }𝐛\rho dV$

$𝐌={𝐌}_B+{𝐌}_C=\underset{S}{\int }𝐫\times 𝐭dS+\underset{V}{\int }𝐫\times 𝐛\rho dV.$

on Plantilla:Math s'anomena la tracció de superfície, integrat sobre la superfície del cos, i Plantilla:Math denota un vector unitari normal i dirigit cap a fora de la superfície Plantilla:Math.

Sigui el sistema de coordenades Plantilla:Math un sistema de referència inercial, Plantilla:Math el vector posició d'una partícula puntual en el cos continu respecte l'origen de coordenades, i Plantilla:Math la velocitat del vector en el punt.

El primer axioma o llei d'Euler (llei de l'equilibri del moment lineal o balanç de forces) afirma que en un sistema de referència inercial la taxa de canvi del moment lineal Plantilla:Math respecte el temps d'una porció unitària d'un cos continu és igual a la força total aplicada Plantilla:Math que actua a la porció, i s'expressa com

$\begin{array}{cc}\frac{d𝐩}{dt}& =𝐅\\ \frac{d}{dt}\underset{V}{\int }\rho 𝐯dV& =\underset{S}{\int }𝐭dS+\underset{V}{\int }𝐛\rho dV.\\ \end{array}$

El segon axioma o llei d'Euler (llei de l'equilibri del moment angular o balanç de moments) afirma que en un sistema de referència inercial la taxa de variació del moment angular Plantilla:Math respecte el temps d'una porció arbitrària d'un cos continu és igual al moment total aplicat Plantilla:Math que actua en la porció i s'expressa com

$\begin{array}{cc}\frac{d𝐋}{dt}& =𝐌\\ \frac{d}{dt}\underset{V}{\int }𝐫\times \rho 𝐯dV& =\underset{S}{\int }𝐫\times 𝐭dS+\underset{V}{\int }𝐫\times 𝐛\rho dV.\\ \end{array}$

On $𝐯$ és la velocita, $V$ el volum, les derivades de Plantilla:Math i Plantilla:Math són derivades materials.

Vegeu també

• Llista de temes anomenats en honor de Leonhard Euler