Mètode de Descartes

El mètode de Descartes és un mètode introduït en 1637 pel matemàtic francès René Descartes en la seva obra La Géométrie, per a la resolució de l'equació de quart grau que, a diferència amb el mètode de Ferrari, tracta de factoritzar l'equació quàrtica reduïda en dos polinomis quadràtics per tal d'arribar a les solucions de l'equació original.

Estratègia general

Sigui l'equació de quart grau

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$,

s'ha de reduir a la seva forma reduïda, fent una transformació de Tschirnhaus, per tant això resulta en el següent:

$w^4+r{w}^2+sw+t=0$,

on

$r=\frac{c}{a}-\frac{3b^2}{8a^2}=\frac{8ac-3b^2}{8a^2}$

$s=\frac{d}{a}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{b^3}{8a^3}=\frac{b^3-4abc+8a^{2}d}{8a^3}$

$t=\frac{e}{a}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{b^{2}c}{16a^3}-\frac{3b^4}{256a^4}=\frac{256a^{3}e-64a^{2}bd+16a{b}^{2}c-3b^4}{256a^4}$

Aquesta equació de quart grau es factoritza en dos polinomis quadràtics:

$(w^2+\alpha w+\beta )(w^2-\alpha w+\gamma )=0$

A l'efectuar el producte i relacionar-lo amb l'equació quàrtica reduïda, obtenim el següent sistema d'equacions:

$\{\begin{array}{c}\beta +\gamma -{\alpha }^2=r\\ \alpha (\gamma -\beta )=s\\ \beta \gamma =t\end{array}$

En aquest sistema, després de diverses operacions, obtenim una equació que aparentment és de sisè grau:

${\alpha }^6+2r{\alpha }^4+(r^2-4t){\alpha }^2-s^2=0$,

que en termes d' ${\alpha }^2$ és una equació cúbica, per tant substituïm ${\alpha }^2$ per $y$.

${\alpha }^2=y\to y^3+2r{y}^2+(r^2-4t)y-s^2=0$,

que pot ser resolta pel mètode de Cardano (en cas que l'equació tingui dues o tres arrels reals, es pren la primera arrel com a primera prioritat), on $y$ ha de ser una arrel real positiva de l'equació cúbica resolvent.

Després de fer càlculs posteriors, obtenim les quatre solucions de l'equació original:

$x_1=\frac{\sqrt{y}+\sqrt{-y-2r-\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

$x_2=\frac{\sqrt{y}-\sqrt{-y-2r-\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

$x_3=\frac{-\sqrt{y}+\sqrt{-y-2r+\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

$x_4=\frac{-\sqrt{y}-\sqrt{-y-2r+\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

Demostració del mètode de Descartes

Donada l'equació quàrtica

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$

Dividim l'equació inicial per la component quàrtica, obtenint:

$x^4+\frac{b}{a}{x}^3+\frac{c}{a}{x}^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0$

Procedim a substituir $x=w-\frac{b}{4a}$ per eliminar el terme cúbic:

${(w-\frac{b}{4a})}^4+\frac{b}{a}{(w-\frac{b}{4a})}^3+\frac{c}{a}{(w-\frac{b}{4a})}^2+\frac{d}{a}(w-\frac{b}{4a})+\frac{e}{a}=0$,

on

${(w-\frac{b}{4a})}^4=w^4-\frac{b{w}^3}{a}+\frac{3b^2{w}^2}{8a^2}-\frac{b^{3}w}{16a^3}+\frac{b^4}{256a^4}$

$\frac{b}{a}{(w-\frac{b}{4a})}^3=\frac{b{w}^3}{a}-\frac{3b^2{w}^2}{4a^2}+\frac{3b{w}^3}{16a^3}-\frac{b^4}{64a^4}$

$\frac{c}{a}{(w-\frac{b}{4a})}^2=\frac{c{w}^2}{a}-\frac{bcw}{2a^2}+\frac{b^{2}c}{16a^3}$

$\frac{d}{a}(w-\frac{b}{4a})=\frac{dw}{a}-\frac{bd}{4a^2}$

En efecte, al desenvolupar la suma algebraica dels resultats dels productes presents, el terme $-\frac{b}{a}{w}^3$ està compensat igualment per $\frac{b}{a}{w}^3$, per la qual cosa es cancel·larà el terme $w^3$. Per tant, el resultat d'aquesta suma algebraica és:

$w^4+\frac{c{z}^2}{a}-\frac{3b^2{w}^2}{8a^2}+\frac{2b^{3}w}{16a^3}-\frac{bcw}{2a^2}+\frac{dw}{a}+\frac{e}{a}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{b^{2}c}{16a^3}-\frac{3b^4}{256a^4}=0$

Indiquem factor comú en els termes amb $w$:

$w^4+(\frac{c}{a}-\frac{3b^2}{8a^2})w^2+(\frac{d}{a}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{b^3}{8a^3})w+(\frac{e}{a}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{b^{2}c}{16a^3}-\frac{3b^4}{256a^4})=0$

Llavors, d'acord a les definicions recentment introduïdes, escriurem l'expressió simplement com

$w^4+r{w}^2+sw+t=0$

on aquesta expressió és l'equació quàrtica reduïda, les components es donen per:

$r=\frac{c}{a}-\frac{3b^2}{8a^2}=\frac{8ac-3b^2}{8a^2}$

$s=\frac{d}{a}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{b^3}{8a^3}=\frac{b^3-4abc+8a^{2}d}{8a^3}$

$t=\frac{e}{a}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{b^{2}c}{16a^3}-\frac{3b^4}{256a^4}=\frac{256a^{3}e-64a^{2}bd+16a{b}^{2}c-3b^4}{256a^4}$

En aquest moment, la idea important és factoritzar l'anterior en $(w^2+\alpha w+\beta )(w^2-\alpha w+\gamma )=0$, acció que és possible ja que no està present el terme cúbic en el polinomi, i que al desenvolupar la multiplicació distributivament ve donada de forma explícita per les següents raons:

$w^4+(\beta +\gamma -{\alpha }^2)w^2+[\alpha (\gamma -\beta )]w+\beta \gamma =0$.

A l'identificar l'anterior amb els termes $r$, $s$ i $t$, obtenim les següents relacions:

$\beta +\gamma -{\alpha }^2=r$,

$\alpha (\gamma -\beta )=s$,

$\beta \gamma =t$.

Si volem trobar el valor de $\alpha$ primerament, considerem les relacions exposades com un sistema d'equacions de tres incògnites:

$\{\begin{array}{c}\beta +\gamma -{\alpha }^2=r\\ \alpha (\gamma -\beta )=s\\ \beta \gamma =t\end{array}$

Passem ${\alpha }^2$ al membre dret de la primera equació, obtenint:

$\beta +\gamma =r+{\alpha }^2$

Passem $\alpha$ al membre dret de la segona equació, obtenint:

$\gamma -\beta =\frac{s}{\alpha }$

Amb els resultats obtinguts, formem un nou sistema d'equacions.

$\{\begin{array}{c}\beta +\gamma =r+{\alpha }^2\\ \gamma -\beta =\frac{s}{\alpha }\end{array}$

Sumem i restem les dues equacions del nou sistema, i unim els resultats en un altre nou sistema:

$\{\begin{array}{c}2\beta =r+{\alpha }^2-\frac{s}{\alpha }\\ 2\gamma =r+{\alpha }^2+\frac{s}{\alpha }\end{array}$

Multipliquem les equacions de sistema recent, obtenint:

$4\beta \gamma ={\alpha }^4+2r{\alpha }^2+r^2-\frac{s^2}{{\alpha }^2}$

Ens adonem que existeix $\beta \gamma$, per tant el reemplacem per $t$:

$4t={\alpha }^4+2r{\alpha }^2+r^2-\frac{s^2}{{\alpha }^2}$

Passem $4t$ a l'altre membre de la igualtat amb signe oposat, això dona:

${\alpha }^4+2r{\alpha }^2+r^2-\frac{s^2}{{\alpha }^2}-4t=0$

Com que hi ha un terme fraccionari, procurem multiplicar l'equació per ${\alpha }^2$:

${\alpha }^6+2r{\alpha }^4+r^2{\alpha }^2-s^2-4t{\alpha }^2=0$

Finalment, indiquem factor comú en $r^2{\alpha }^2$ i $4t{\alpha }^2$:

${\alpha }^6+2r{\alpha }^4+(r^2-4t){\alpha }^2-s^2=0$

Fem la substitució ${\alpha }^2=y$ (obtenint una equació cúbica resolvent):

$y^3+2r{y}^2+(r^2-4t)y-s^2=0$

Llavors, sigui $y$ una arrel positiva de l'equació cúbica resolvent. Solucionem per $\alpha$:

${\alpha }^2=y\to \alpha =\sqrt{y},y>0$

Per tant, hem trobat la solució per $\alpha$. Per tant, reemplaçant $\alpha$ en el sistema anterior al recent, obtenim les solucions $\beta$ i $\gamma$:

$2\beta =r+y-\frac{s}{\sqrt{y}}\to \beta =\frac{r+y-\frac{s}{\sqrt{y}}}{2}$

$2\gamma =r+y+\frac{s}{\sqrt{y}}\to \gamma =\frac{r+y+\frac{s}{\sqrt{y}}}{2}$

Reemplacem els valors d' $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ les dues equacions quadràtiques:

$(w^2+\alpha w+\beta )(w^2-\alpha w+\gamma )=0$

$(w^2+\sqrt{y}w+\frac{r+y-\frac{s}{\sqrt{y}}}{2})(w^2-\sqrt{y}w+\frac{r+y+\frac{s}{\sqrt{y}}}{2})=0$

Apliquem la llei del producte nul en tots dos factors, això els separa en dues equacions quadràtiques diferents:

$w^2+\sqrt{y}w+\frac{r+y-\frac{s}{\sqrt{y}}}{2}=0$

$w^2-\sqrt{y}w+\frac{r+y+\frac{s}{\sqrt{y}}}{2}=0$

Calculem el discriminant de cada equació quadràtica:

${\mathrm{\Delta }}_a=b^2-4ac={\left(\sqrt{y}\right)}^2-4(1)\left(\frac{r+y-\frac{s}{\sqrt{y}}}{2}\right)=-y-2r+\frac{2s}{\sqrt{y}}$

${\mathrm{\Delta }}_b=b^2-4ac={(-\sqrt{y})}^2-4(1)\left(\frac{r+y+\frac{s}{\sqrt{y}}}{2}\right)=-y-2r-\frac{2s}{\sqrt{y}}$

Resolem les dues equacions per separat:

$w_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{{\mathrm{\Delta }}_a}}{2a}=\frac{-\sqrt{y}\pm \sqrt{-y-2r+\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}$

$w_{3,4}=\frac{-b\pm \sqrt{{\mathrm{\Delta }}_b}}{2a}=\frac{\sqrt{y}\pm \sqrt{-y-2r-\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}$

Llavors les solucions de l'equació cuártica reduïda són:

$w_1=\frac{\sqrt{y}+\sqrt{-y-2r-\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}$

$w_2=\frac{\sqrt{y}-\sqrt{-y-2r-\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}$

$w_3=\frac{-\sqrt{y}+\sqrt{-y-2r+\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}$

$w_4=\frac{-\sqrt{y}-\sqrt{-y-2r+\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}$

I al mateix temps les solucions de l'equació original són:

$x_1=\frac{\sqrt{y}+\sqrt{-y-2r-\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

$x_2=\frac{\sqrt{y}-\sqrt{-y-2r-\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

$x_3=\frac{-\sqrt{y}+\sqrt{-y-2r+\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

$x_4=\frac{-\sqrt{y}-\sqrt{-y-2r+\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$