Mètode de Newton

En càlcul numèric, el mètode de Newton, o mètode de Newton-Raphson, és un algorisme per tal de trobar aproximacions del zero d'una funció amb valors reals.

Història

El mètode Newton va ser descobert per Isaac Newton i publicat al Method of Fluxions el 1736. Encara que aquest mètode també sigui descrit per Joseph Raphson a Analysis Aequationum el 1690, cal dir que el Method of Fluxions ja havia estat escrit el 1671.

El mètode

Suposem que la funció $f$ és contínuament diferenciable dues vegades a l'interval $[a,b]$, o sigui $f\in {𝒞}^2[a,b]$. I existeix un zero de la funció en aquest interval. Direm que $\alpha \in [a,b]$ és la solució si $f\left(\alpha \right)=0$.

Sigui $x_0\in [a,b]$ una aproximació a la solució $\alpha$ tal que $f^{\prime }\left(x_0\right)\ne 0$. Si escrivim el polinomi de Taylor de primer grau per a $f\left(x\right)$ al voltant de $x_0$, tindrem: $f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f^{\prime }(x)+\frac{(x-x_0{)}^2}{2}{f}^{\prime \prime }(\xi (x))$

Però com que $f(\alpha )=0$, aquest anterior polinomi de Taylor, el podem escriure de la forma: $0=f(x_0)+(\alpha -x_0)f^{\prime }(x)+\frac{(\alpha -x_0{)}^2}{2}{f}^{\prime \prime }(\xi (\alpha ))$.

En aquest punt, el mètode de Newton suposa que el terme $(\alpha -x_0{)}^2$ serà menyspreable, i que: $0\approx f(x_0)+(\alpha -x_0)f^{\prime }(x)$,

i aïllant $\alpha$:

$\alpha \approx x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$,

que ha de ser una millor aproximació cap a $\alpha$. Anomenem $x_1$ a aquesta millor aproximació. Per inducció definim una successió de valors de $x_n$, que es pot escriure de la forma: $x_n=x_{(n-1)}-\frac{f(x_{(n-1)})}{f^{\prime }(x_{(n-1)})}$, amb $n\ge 1$.

Imatge gràfica

L'aproximació gràfica és la següent: S'escull un valor de l'abscissa raonablement pròxim a l'autèntic zero. En aquest punt, es reemplaça la corba per la seva tangent, i es calcula el zero d'aquesta recta tangent. Aquest zero, normalment, és més pròxim al zero de la funció, que el valor inicial. Aquest procés es reitera, fins a arribar a una aproximació que es dona per bona. En el cas de la gràfica, a partir de $x_0$, s'anirà trobant la successió $x_1,x_2,...$, fins a arribar a un cert valor que es donarà com a solució de $\alpha$.

Observacions

La fallada d'aquest mètode, normalment ve motivada per l'anul·lació del valor de la derivada en algun punt entre el valor del zero de la funció i el valor $x_0$ inicial que s'hagi agafat com aproximació d'arrencada. No cal dir que l'eficiència d'aquest mètode també està a saber trobar una aproximació inicial suficientment pròxima a la solució.

Exemple

Suposem que es vulgui trobar un valor de la $x$ que fa que $x-\cos x=0$. Es pot intuir que existeix un valor entre 0 i 1 que ha de complir aquesta condició.

La derivada de la funció és: $1+\sin x$, sempre és >0.

Es pot agafar com a valor d'inici: $x_0=0.5$.

I d'aquí:

$x_1=0.5-\frac{0.5-\cos 0.5}{1+\sin 0.5}=0.75522$

$x_2=0.75522-\frac{0.75522-\cos 0.75522}{1+\sin 0.75522}=0.73914$

$x_3=0.73914-\frac{0.73914-\cos 0.73914}{1+\sin 0.73914}=0.73909$

$x_4=0.73909-\frac{0.73909-\cos 0.73909}{1+\sin 0.73909}=0.73909$

Valor que evidentment soluciona el problema, dins l'aproximació en què s'ha treballat.

Algorisme

Algorisme Mètode_Newton
funció func(x:real): real; /retorna el valor de la funció en x.
funció deriv(x:real): real;/retorna el valor de la derivada en x.
 
var.x0=W: real;/W allunyat de V, per evitar que |x0-x1|<Tol.
x1=V: real;	/V=aproximació inicial.
Tol: real;/Tol=marge màxim d'error que s'acceptarà.
n=N: enter;/controla el número d'iteracions, màxim N.
 
fer 
mentre [n>0] i [|x0-x1|>Tol] fer
x0=x1;
x1=x0-func(x0)/deriv(x0); 
n=n-1;
fi mentre;
si n>0
SORTIDA=x1;
altrament
SORTIDA=ERROR;
fi si;
fi procés;

Generalització

Es pot també utilitzar el mètode de Newton per tal de resoldre sistemes de n equacions (generalment no lineals), això representa trobar els zeros de les funcions contínuament derivables $F:R^n\to R^n$.

Si designem per $𝐉(𝐱)$ la matriu jacobiana d'aquest sistema de funcions, el mètode de Newton en aquest cas, es pot escriure amb el següent procés iteratiu:

${𝐱}^{𝐤}\mathbf{=}{𝐱}^{\mathbf{(}𝐤\mathbf{-}\mathrm{𝟏}\mathbf{)}}\mathbf{-}𝐉\mathbf{(}{𝐱}^{\mathbf{(}𝐤\mathbf{-}\mathrm{𝟏}\mathbf{)}}{\mathbf{)}}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}𝐅\mathbf{(}{𝐱}^{\mathbf{(}𝐤\mathbf{-}\mathrm{𝟏}\mathbf{)}}\mathbf{)}$.

Expressió que recorda força l'anterior.

Vegeu també

• Mètode de Halley