Mètrica de De Sitter–Schwarzschild

En la relativitat general, la solució de De Sitter-Schwarzschild descriu un forat negre en un pegat causal de l'espai de De Sitter. A diferència d'un forat negre d'espai pla, hi ha un forat negre de Sitter més gran possible, que és l'espai-temps de Nariai. El límit de Nariai no té singularitats, els horitzons cosmològics i els forats negres tenen la mateixa àrea, i es poden mapejar entre si mitjançant una simetria de reflexió discreta en qualsevol pegat causal.

Introducció

En la relativitat general, els espais temps poden tenir horitzons d'esdeveniments de forats negres i també horitzons cosmològics. La solució de De Sitter–Schwarzschild és la solució més senzilla que té totes dues.

Mètrica

La mètrica de qualsevol solució esfèricament simètrica en forma de Schwarzschild és:

$d{s}^2=-f(r)d{t}^2+\frac{d{r}^2}{f(r)}+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$

Les equacions d'Einstein al buit donen una equació lineal per a f(r), que té com a solucions:

$f(r)=1-2a/r$

$f(r)=1-b{r}^2$

La primera és una solució d'energia d'estrès zero que descriu un forat negre en l'espai temps buit, la segona (amb b positiu) descriu l'espai de Sitter amb una energia d'estrès d'una constant cosmològica positiva de magnitud 3 b. Superposant les dues solucions s'obté la solució de De Sitter-Schwarzschild:

$f(r)=1-\frac{2a}{r}-b{r}^2$

Els dos paràmetres a i b donen la massa del forat negre i la constant cosmològica respectivament. En d + 1, la caiguda de la llei de potència inversa a la part del forat negre és d − 2. En 2 + 1 dimensions, on l'exponent és zero, la solució anàloga comença amb 2 + 1 de Sitter espai, retalla una falca i enganxa els dos costats de la falca junts per fer un espai cònic.

L'equació geodèsica

$g_{aj}{\ddot{x}}^j+({\partial }_i{g}_{aj}-\frac{1}{2}{\partial }_a{g}_{ij}){\dot{x}}^j{\dot{x}}^i=0$

dóna

$\ddot{r}+\frac{1}{2}\frac{-f^{\prime }(r)}{f(r)}{\dot{r}}^2+\frac{1}{2}f(r)f^{\prime }(r){\dot{t}}^2-rf(r)\dot{\theta }-rf(r){\text{sin}}^2\theta {\dot{\varphi }}^2=0$

per al radial, i

$\ddot{t}+\frac{1}{f(r)}{f}^{\prime }(r)\dot{t}\dot{r}=0$

per al component de temps.