Magma unitari

Relació entre les estructures algebraiques tipus grup.

En matemàtiques, un magma unitari consisteix en un conjunt dotat d'una llei de composició interna i un element neutre.

Exemple

Sigui E un conjunt amb els elements següents: $E=\{a,b,c\}$. Dins d'aquest conjunt es defineix una operació binària denotada com $\otimes$. El resultat d'operar entre ells els elements del conjunt amb $\otimes$ es recullen a la taula següent:

$\otimes$	a	b	c
a	b	b	a
b	a	a	b
c	a	b	c

On la primera fila representa l'operand per l'esquerra i la primera columna representa l'operand per la dreta.

L'operació $\otimes$ forma un magma unitari en E:

L'operació és una llei de composició interna

Tots els elements d'arribada són també elements en E.

Existeix un element neutre

L'element neutre $e$ en E és aquell element el qual verifica la igualtat següent per a qualsevol element $n$ del conjunt: $e\otimes n=n\otimes e=n$. Comprovant la taula, es pot apreciar que $c$ és l'element neutre del conjunt.

No tots els elements del conjunt tenen un invers

L'invers per un element $n$ concret en el conjunt és aquell element $i$, també en el conjunt, tal que $i\otimes n=n\otimes i=c$, ja que $c$ és l'element neutre del conjunt. Es pot provar que no tots els elements del conjunt tenen un invers amb el següent contraexemple:

$a\otimes i=c$

Degut al fet que no hi ha cap element $i$ en E que satisfaci l'equació.

L'operació no és associativa

L'associativitat es compleix si, per a tres elements m, n i s qualssevol al conjunt, es verifica que $(m\otimes n)\otimes s=m\otimes (n\otimes s)$. L'operació () no és associativa al conjunt, la qual cosa es pot comprovar amb l'exemple següent:

$(a\otimes a)\otimes b=a\otimes (a\otimes b)$

Al costat esquerre es té que $a\otimes a=b$ i després que $b\otimes b=a$. Al costat dret, en canvi, es té que $a\otimes b=a$ i després que $a\otimes a=b$. Per tant, l'operació no és associativa en el conjunt.

La divisió no sempre és possible

Per tal que la divisió sempre sigui possible, s'ha de verificar que per a qualsevol n i m del conjunt, existeixin un divisor per l'esquerra y i un divisor per la dreta z tals que $y\otimes n=n\otimes z=m$. Per provar que la divisió no sempre és possible en E, es pot prendre l'exemple emprat anteriorment: $a\otimes i=c$, on no existeix cap divisor que satisfaci l'equació.