Matriu D de Wigner

La matriu D de Wigner és una matriu unitària en una representació irreductible dels grups SU(2) i SO(3). Va ser introduït el 1927 per Eugene Wigner, i juga un paper fonamental en la teoria mecànica quàntica del moment angular. El complex conjugat de la matriu D és una funció pròpia de l'Hamiltonià de rotors rígids esfèrics i simètrics. La lletra Plantilla:Mvar significa Darstellung, que significa "representació" en alemany.

Definició de la matriu D de Wigner

Siguin Plantilla:Math generadors de l'àlgebra de Lie de SU(2) i SO(3). En mecànica quàntica, aquests tres operadors són els components d'un operador vectorial conegut com a moment angular. Alguns exemples són el moment angular d'un electró en un àtom, l'espin electrònic i el moment angular d'un rotor rígid.

En tots els casos, els tres operadors compleixen les següents relacions de commutació :

$[J_x,J_y]=i{J}_z,[J_z,J_x]=i{J}_y,[J_y,J_z]=i{J}_x,$

on i és el nombre purament imaginari i la constant de Planck Plantilla:Mvar s'ha establert igual a un. L'operador Casimir

$J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2$

es desplaça amb tots els generadors de l'àlgebra de Lie. Per tant, es pot diagonalitzar juntament amb Plantilla:Mvar.

Això defineix la base esfèrica utilitzada aquí. És a dir, hi ha un conjunt complet de kets (és a dir, una base ortonormal de vectors propis conjunts etiquetats per nombres quàntics que defineixen els valors propis) amb

$J^2|jm⟩=j(j+1)|jm⟩,J_z|jm⟩=m|jm⟩,$

on j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2,... per SU(2) i j = 0, 1, 2,... per SO(3). En ambdós casos, Plantilla:Math Plantilla:Math.

Un operador de rotació tridimensional es pot escriure com

$ℛ(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha J_z}{e}^{-i\beta J_y}{e}^{-i\gamma J_z},$

on α, β, γ són angles d'Euler (caracteritzats per les paraules clau: convenció zyz, marc de la dreta, regla del cargol de la dreta, interpretació activa).

La matriu D de Wigner és una matriu quadrada unitària de dimensió 2 j + 1 en aquesta base esfèrica amb elements

$D_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv ⟨j{m}^{\prime }|ℛ(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm⟩=e^{-i{m}^{\prime }\alpha }{d}_{m^{\prime }m}^j(\beta )e^{-im\gamma },$

on

$d_{m^{\prime }m}^j(\beta )=⟨j{m}^{\prime }|e^{-i\beta J_y}|jm⟩=D_{m^{\prime }m}^j(0,\beta ,0)$

és un element de la matriu d de Wigner (petita) ortogonal.

És a dir, en aquesta base,

$D_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,0,0)=e^{-i{m}^{\prime }\alpha }{\delta }_{m^{\prime }m}$

és diagonal, com el factor de la matriu γ, però a diferència del factor β anterior.