Matriu d'intercanvi

Plantilla:Falten referències En matemàtiques, especialment en àlgebra lineal, la matriu d'intercanvi és un cas especial de matriu de permutació, en què els elements 1 resideixen a la contradiagonal i tots els altres elements són zero. En altres paraules, és una versió amb les files inverses o les columnes inverses de la matriu identitat.

$J_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right);J_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right);J_n=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& \cdots & 0& 0& 1\\ 0& 0& \cdots & 0& 1& 0\\ 0& 0& \cdots & 1& 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 1& \cdots & 0& 0& 0\\ 1& 0& \cdots & 0& 0& 0\end{array}\right).$

Definició

Si J és una matriu d'intercanvi n×n, aleshores els elements de J es defineixen de manera que:

$J_{i,j}=\{\begin{array}{cc}1,& j=n-i\\ 0,& j\ne n-i\end{array}$

Propietats

• J^T = J.
• Jⁿ = I per n parell; Jⁿ = J per n imparell, on n és qualsevol íntegre. Així doncs, J és una matriu involutòria; és a dir, J⁻¹ = J.
• La traça de J és 1 si n is imparell, i 0 si n és parell.

Relacions

• Es diu que qualsevol matriu A que satisfaci la condició AJ = JA és centrosimètrica.
• Es diu que qualsevol matriu A que satisfaci la condició AJ = JA^T és persimètrica.