Matriu de Cauchy

En matemàtiques, una matriu de Cauchy, anomenada després d'Augustin-Louis Cauchy, és una matriu m × n amb elements a _ij en la forma

$a_{ij}=\frac{1}{x_i-y_j};x_i-y_j\ne 0,1\le i\le m,1\le j\le n$

on $x_i$ i $y_j$ són elements d'un camp $ℱ$, i $(x_i)$ i $(y_j)$ són seqüències injectives (contenen elements diferents).

La matriu de Hilbert és un cas especial de la matriu de Cauchy, on

$x_i-y_j=i+j-1.$

Cada submatriu d'una matriu de Cauchy és en si mateixa una matriu de Cauchy.

$D_n=\left|\begin{array}{cccc}\frac{1}{a_1+b_1}& \frac{1}{a_1+b_2}& \dots & \frac{1}{a_1+b_n}\\ \frac{1}{a_2+b_1}& \frac{1}{a_2+b_2}& \dots & \frac{1}{a_2+b_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{1}{a_n+b_1}& \frac{1}{a_n+b_2}& \dots & \frac{1}{a_n+b_n}\end{array}\right|$

Determinants de Cauchy

El determinant d'una matriu de Cauchy és clarament una fracció racional en els paràmetres $(x_i)$ i $(y_j)$. Si les seqüències no fossin injectives, el determinant s'esvairia, i tendeix a l'infinit si n'hi ha $x_i$ Tendeix a $y_j$. Així es coneix un subconjunt dels seus zeros i pols. El fet és que ja no hi ha zeros i pols:

El determinant d'una matriu de Cauchy quadrada A es coneix com a determinant de Cauchy i es pot donar de manera explícita com a

$\det 𝐀=\frac{\prod _{i=2}^n\prod _{j=1}^{i-1}(x_i-x_j)(y_j-y_i)}{\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^n(x_i-y_j)}$  (Schechter 1959, eq. 4; Cauchy 1841, pàg. 154, eq. 10).

Sempre és diferent de zero i, per tant, totes les matrius de Cauchy quadrades són invertibles. La inversa A ⁻¹ = B = [b _ij ] ve donada per

$b_{ij}=(x_j-y_i)A_j(y_i)B_i(x_j)$    (Schechter 1959, Teorema 1)

on A _i (x) i B _i (x) són els polinomis de Lagrange per $(x_i)$ i $(y_j)$, respectivament. Això és,

$A_i(x)=\frac{A(x)}{A^{\prime }(x_i)(x-x_i)}\text{i}{B}_i(x)=\frac{B(x)}{B^{\prime }(y_i)(x-y_i)},$

amb

$A(x)=\prod _{i=1}^n(x-x_i)\text{i}B(x)=\prod _{i=1}^n(x-y_i).$