Matriu de velocitat de transició

En teoria de la probabilitat, una matriu de velocitat de transició (també coneguda com a matriu d'intensitat o matriu generadora infinitesimal) és una matriu de nombres que descriuen la velocitat d'una cadena de Màrkov a temps continu que es mou entre els estats.

En una matriu de velocitat de transició Q (de vegades escrit A), l'element q_ij (per a i ≠ j) denota la velocitat de sortida i i d'arribada a l'estat j. Els elements diagonal q_ii es defineixen tal que

$q_{ii}=-\sum _{j\ne i}{q}_{ij}.$

i per tant, les files de la matriu se sumen a zero.

Definició

Una matriu Q (q_ij) satisfà les següents condicions:

1. $0\le -q_{ii}<\mathrm{\infty }$
2. $0\le q_{ij}:\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}i\ne j$
3. $\sum _j{q}_{ij}=0:\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}i$

Aquesta definició es pot interpretar com el laplacià d'un gràf ponderat dirigit, els vèrtexs dels quals corresponen als estats de la cadena de Màrkov.

Exemple

Una cua M/M/1, un model que compta el nombre de treballs en un sistema de cues amb arribades a la velocitat λ i serveis a la velocitat μ, té matriu de velocitat de transició

$Q=\left(\begin{array}{cc}-\lambda & \lambda \\ \mu & -(\mu +\lambda )& \lambda \\ & \mu & -(\mu +\lambda )& \lambda \\ & & \mu & -(\mu +\lambda )& \lambda & \\ & & & & \ddots \end{array}\right).$