Matriu fonamental (equació diferencial lineal)

En matemàtiques, una matriu fonamental d'un sistema de $n$ equacions diferencials ordinàries lineals homogènies

$\dot{𝐱}(t)=A(t)𝐱(t)$

és una funció matricial $\mathrm{\Psi }(t)$ tal que les seves columnes són solucions linealment independents del sistema. A particir de $\mathrm{\Psi }(t)$ es poden escriure totes les solucions del sistema com $𝐱=\mathrm{\Psi }(t)𝐜$, per a algun vector constant $𝐜$ (escrit com un vector de columna d'altura $n$).

Es pot demostrar que una funció matricial $\mathrm{\Psi }$ és una matriu fonamental de $\dot{𝐱}(t)=A(t)𝐱(t)$ si i només si $\dot{\mathrm{\Psi }}(t)=A(t)\mathrm{\Psi }(t)$ i $\mathrm{\Psi }$ és una matriu invertible per a tot $t$.

Teoria del control

La matriu fonamental s'utilitza per expressar la matriu de transició d'estat, un component essencial en la solució d'un sistema d'equacions diferencials ordinàries lineals.