Model de Kronig-Penney

L'any 1931, per il·lustrar el comportament dels electrons en un potencial periòdic, R. de L. Kronig i W. G. Penney van considerar un potencial quadrat unidimensional que s'aproximés als potencials que es troben a la pràctica i permetés obtenir una solució exacta de l'equació de Schrödinger. Aquest potencial té un període $a+b$ i consisteix en pous quadrats, distribuïts de tal manera que l'energia potencial $V(x)$ de l'electró és igual a zero quan $0<x<a$, i és igual a $V_0$ quan $-b<x<0$.

La funció d'ona de l'electró satisfà l'equació de Schrödinger per a tot $x\in ℝ$:$$\frac{{\mathrm{d}}^2\psi }{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{2m}{{\hslash }^2}[E-V(x)]\psi =0$$és a dir:$$\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{d}}^2\psi }{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}\psi =0& \text{per a }0<x<a\\ \frac{{\mathrm{d}}^2\psi }{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}\psi =0& \text{per a }-b<x<0\end{array}$$

Segons el teorema de Bloch, la funció d'ona d'un electró en un potencial unidimensional de període $a+b$ es pot expressar com una funció de Bloch de la forma$$\psi (x)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}u(x)$$on $u(x)=u(x+a+b)$.

Considerem el cas en què $E<V_0$. Si definim les constants $\alpha$ i $\beta$ com ${\alpha }^2=2mE/{\hslash }^2$ i ${\beta }^2=2m(V_0-E)/{\hslash }^2$ i substituïm la funció de Bloch a l'equació de Schrödinger, s'obtenen les equacions diferencials següents:$$\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{x}^2}+2\mathrm{i}k\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+({\alpha }^2-k^2)u=0& \text{per a }0<x<a\\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{x}^2}+2\mathrm{i}k\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-({\beta }^2+k^2)u=0& \text{per a }-b<x<0\end{array}$$

Les solucions generals d'aquestes equacions són:$$\begin{array}{cc}u=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\alpha -k)x}+B{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(\alpha +k)x}& \text{per a }0<x<a\\ u=C{\mathrm{e}}^{(\beta -\mathrm{i}k)x}+D{\mathrm{e}}^{-(\beta +\mathrm{i}k)x}& \text{per a }-b<x<0\end{array}$$on $A$, $B$, $C$ i $D$ són constants arbitràries.

Com que la funció d'ona i la seva derivada han de ser contínues en tot $x\in ℝ$, aleshores $u$ i $u^{\prime }$ també han de ser contínues en tot $x\in ℝ$. Per tant, tenint en compte la periodicitat de $u$, les condicions de contorn han de ser les següents:$$\begin{array}{cc}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{+}}u(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{-}}u(x)& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{+}}{u}^{\prime }(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{-}}{u}^{\prime }(x)\\ \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a^{-}}u(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to {-b}^{+}}u(x)& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a^{-}}{u}^{\prime }(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to {-b}^{+}}{u}^{\prime }(x)\end{array}$$és a dir:$$\begin{array}{c}A+B=C+D\\ \mathrm{i}(\alpha -k)A-\mathrm{i}(\alpha +k)B=(\beta -\mathrm{i}k)C-(\beta +\mathrm{i}k)D\\ A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\alpha -k)a}+B{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(\alpha +k)a}=C{\mathrm{e}}^{-(\beta -\mathrm{i}k)b}+D{\mathrm{e}}^{(\beta +\mathrm{i}k)b}\\ \mathrm{i}(\alpha -k)A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\alpha -k)a}-\mathrm{i}(\alpha +k)B{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(\alpha +k)a}=(\beta -\mathrm{i}k)C{\mathrm{e}}^{-(\beta -\mathrm{i}k)b}-(\beta +\mathrm{i}k)D{\mathrm{e}}^{(\beta +\mathrm{i}k)b}\end{array}$$

Aquest sistema d'equacions té, com a mínim, una solució determinada si:$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\\ \mathrm{i}(\alpha -k)& -\mathrm{i}(\alpha +k)& -(\beta -\mathrm{i}k)& (\beta +\mathrm{i}k)\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\alpha -k)a}& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(\alpha +k)a}& -{\mathrm{e}}^{-(\beta -\mathrm{i}k)b}& -{\mathrm{e}}^{(\beta +\mathrm{i}k)b}\\ \mathrm{i}(\alpha -k){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\alpha -k)a}& -\mathrm{i}(\alpha +k){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(\alpha +k)a}& -(\beta -\mathrm{i}k){\mathrm{e}}^{-(\beta -\mathrm{i}k)b}& (\beta +\mathrm{i}k){\mathrm{e}}^{(\beta +\mathrm{i}k)b}\end{array}\right|=0$$

Desenvolupant aquest determinant, s'obté, després d'un càlcul llarg i laboriós:$$\frac{{\beta }^2-{\alpha }^2}{2\alpha \beta }\sinh \beta b\sin \alpha a+\cosh \beta b\cos \alpha a=\cos k(a+b)$$

A partir d'aquí, Kronig i Penney consideren el cas en què les barreres de potencial s'aproximen a funcions delta, és a dir, $b\to 0$ i $V_0\to \mathrm{\infty }$. En aquest cas, si es defineix$$P=\underset{\begin{array}{c}b\to 0\\ V_0\to \mathrm{\infty }\end{array}}{\lim }\frac{m{V}_{0}ab}{{\hslash }^2}$$aleshores l'equació anterior s'escriu com:$$\frac{P}{\alpha a}\sin \alpha a+\cos \alpha a=\cos ka$$

Com que $k$ és real, el membre de la dreta només pren valors entre $-1$ i $1$. Per tant, per tal que l'equació es satisfaci, el membre de l'esquerra només pot prendre valors entre $-1$ i $1$.

Bibliografia

• A. J. Dekker. Solid state physics. Reimpr. 1a ed. Londres: MacMillan, 1990.
• J. P. McKelvey. Solid state and semiconductor physics. Reimpr. 1a ed. Florida: Krieger, 1984.
• F. Seitz. The modern theory of solids. 1a ed. Nova York: McGraw-Hill, 1940.