Model de Plummer

Exemple de cúmul d'estrelles: Messier 75

El model de Plummer o esfera de Plummer és una llei de densitat usada per primer cop per H. C. Plummer Per observar Cúmuls globulars. Ara sovint és utilitzat com a model simplificat en Simuladors dinàmics de partícules de sistemes estel·lars.

Descripció del model

El perfil de densitat 3D segons Plummer ve donat per

${\rho }_P(r)=\frac{3M}{4\pi a^3}{(1+\frac{r^2}{a^2})}^{-\frac{5}{2}},$

On M és la massa total del Cúmul, i a és el radi Plummer, un paràmetre d'escala que posa la mida del nucli de grup. El potencial corresponent és

${\mathrm{\Phi }}_P(r)=-\frac{GM}{\sqrt{r^2+a^2}},$

On G és la constant de la gravitació de Newton. La dispersió de velocitat és

${\sigma }_P^2(r)=\frac{GM}{6\sqrt{r^2+a^2}}.$

La funció de distribució és

$f(\overrightarrow{x},\overrightarrow{v})=\frac{24\sqrt{2}}{7{\pi }^3}\frac{N{a}^2}{G^5{M}^5}(-E(\overrightarrow{x},\overrightarrow{v}){)}^{7/2},$

Si $E<0$, i$f(\overrightarrow{x},\overrightarrow{v})=0$ altrament, on$E(\overrightarrow{x},\overrightarrow{v})=\frac{1}{2}{v}^2+{\mathrm{\Phi }}_P(r)$ és l'energia específica.

Propietats

La massa tancada dins dels radis $R$ és donada per

$M(r<R)=4\pi \underset{0}{\overset{R}{\int }}{r}^2{\rho }_P(r)dr=M\frac{R^3}{(R^2+a^2{)}^{3/2}}.$

Moltes altres propietats del model Plummer es descriuen a l'article de Herwig Dejonghe.

Radi de nucli $r_c$, on les gotes de densitat de la superfície a mig el seu valor central, és a .$r_c=a\sqrt{\sqrt{2}-1}\approx 0.64a$

Radi de mitja-massa és$r_h={(\frac{1}{0.5^{2/3}}-1)}^{-0.5}a\approx 1.3a.$

El radi Virial és .$r_V=\frac{16}{3\pi }a\approx 1.7a$

Els punts de gir radial d'una òrbita caracteritzada per l'energia específica $E=\frac{1}{2}{v}^2+\mathrm{\Phi }(r)$ i el moment angular específic $L=|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}|$ venen donats per les arrels positives de l'equació cúbica

$R^3+\frac{GM}{E}{R}^2-(\frac{L^2}{2E}+a^2)R-\frac{GM{a}^2}{E}=0,$

On $R=\sqrt{r^2+a^2}$, de manera que$r=\sqrt{R^2-a^2}$. Aquesta equació té tres arrels reals per$R$ : dos valors positius i un negatiu, donat que$L<L_c(E)$, on $L_c(E)$ és el moment angular específic per una òrbita circular per la mateixa energia. Aquí $L_c$ pot ser calculada de l'arrel real simple del discriminant de l'equació cúbica, la qual és una altra equació cúbica

$\underset{\_}{E}{\underset{\_}{L}}_c^3+(6{\underset{\_}{E}}^2{\underset{\_}{a}}^2+\frac{1}{2}){\underset{\_}{L}}_c^2+(12{\underset{\_}{E}}^3{\underset{\_}{a}}^4+20\underset{\_}{E}{\underset{\_}{a}}^2){\underset{\_}{L}}_c+(8{\underset{\_}{E}}^4{\underset{\_}{a}}^6-16{\underset{\_}{E}}^2{\underset{\_}{a}}^4+8{\underset{\_}{a}}^2)=0,$

A On el parametres subratllats són Adimensionals en unitats Henon definides com $\underset{\_}{E}=E{r}_V/(GM)$, ,${\underset{\_}{L}}_c=L_c/\sqrt{GM{r}_V}$ i $\underset{\_}{a}=a/r_V=3\pi /16$.

Aplicacions

El model Plummer ens acosta a representar els perfils de densitat observats de cúmuls estel·lars [cal citació], tot i que la ràpida caiguda de la densitat a radis grans ($\rho \to r^{-5}$) no és una descripció bona per a aquests sistemes.

El comportament de la densitat prop del centre no s'assembla a les observacions de galàxies el·líptiques, les quals típicament exhibeixen una densitat central divergent .

La facilitat amb què l'esfera Plummer pot ser abordada com a model Monte-Carlo l'ha fet favorit d'Experiments de física de partícules, malgrat la manca de realisme del model.