Model monodomini

Fitxer:Chaste-An-Open-Source-C++-Library-for-Computational-Physiology-and-Biology-pcbi.1002970.s005.ogv El model monodomini és una reducció del model bidodomini de la propagació elèctrica en el teixit del miocardi. La reducció prové de suposar que els dominis intracel·lulars i extracel·lulars tenen proporcions d'anisotropia iguals. Tot i que no és tan precís fisiològicament com el model bidomain, encara és adequat en alguns casos i té una complexitat reduïda.

Formulació

Ser $𝕋$ el límit del domini del model, el model monodomini es pot formular de la següent manera $$\frac{\lambda }{1+\lambda }\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mathrm{\Sigma }}_i\mathrm{\nabla }v\right)=\chi (C_m\frac{\partial v}{\partial t}+I_{\text{ion}})\text{en }𝕋,$$on ${\mathrm{\Sigma }}_i$ és el tensor de conductivitat intracel·lular, $v$ és el potencial transmembrana, $I_{\text{ion}}$ és el corrent iònic transmembrana per unitat d'àrea, $C_m$ és la capacitat de la membrana per unitat d'àrea, $\lambda$ és la relació de conductivitat intracel·lular a extracel·lular, i $\chi$ és la superfície de la membrana per unitat de volum (de teixit).

Derivació

El model de monodomini es pot derivar fàcilment del model de bidomini. Aquest últim es pot escriure com $$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mathrm{\Sigma }}_i\mathrm{\nabla }v\right)+\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mathrm{\Sigma }}_i\mathrm{\nabla }{v}_e\right)& =\chi (C_m\frac{\partial v}{\partial t}+I_{\text{ion}})\\ \mathrm{\nabla }\cdot \left({\mathrm{\Sigma }}_i\mathrm{\nabla }v\right)+\mathrm{\nabla }\cdot \left(({\mathrm{\Sigma }}_i+{\mathrm{\Sigma }}_e)\mathrm{\nabla }{v}_e\right)& =0\end{array}$$Suposant relacions d'anisotropia iguals, és a dir ${\mathrm{\Sigma }}_e=\lambda {\mathrm{\Sigma }}_i$, la segona equació es pot escriure com $$\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mathrm{\Sigma }}_i\mathrm{\nabla }{v}_e\right)=-\frac{1}{1+\lambda }\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mathrm{\Sigma }}_i\mathrm{\nabla }v\right).$$Aleshores, inserint-ho a la primera equació del bidomain dona l'equació única del model de monodomini$$\frac{\lambda }{1+\lambda }\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mathrm{\Sigma }}_i\mathrm{\nabla }v\right)=\chi (C_m\frac{\partial v}{\partial t}+I_{\text{ion}}).$$