Nucli més suau

Un kernel smoother és una tècnica estadística per estimar una funció de valor real $f:{ℝ}^p\to ℝ$ com a mitjana ponderada de les dades observades veïnes. El pes es defineix pel nucli, de manera que els punts més propers reben pes més alts. La funció estimada és suau i el nivell de suavitat el defineix un únic paràmetre. El suavització del nucli és un tipus de mitjana mòbil ponderada.

Definicions

Si $K_{h_{\lambda }}(X_0,X)$ és un nucli definit per

$K_{h_{\lambda }}(X_0,X)=D\left(\frac{\Vert X-X_0\Vert }{h_{\lambda }(X_0)}\right)$

on:

• és la norma euclidiana
• és un paràmetre (radi del nucli)
• D (t ) és típicament una funció de valor real positiu, el valor de la qual és decreixent (o no augmenta) per a la distància creixent entre X i X ₀.

Els nuclis populars utilitzats per allisar inclouen els nuclis parabòlics (Epanechnikov), Tricube i gaussians.

Sigui $Y(X):{ℝ}^p\to ℝ$ una funció contínua de X. Per cadascú $X_0\in {ℝ}^p$, la mitjana ponderada pel nucli de Nadaraya-Watson (estimació suau Y (X )) es defineix per

$\hat{Y}(X_0)=\frac{\sum _{i=1}^N{K}_{h_{\lambda }}(X_0,X_i)Y(X_i)}{\sum _{i=1}^N{K}_{h_{\lambda }}(X_0,X_i)}$

on:

• N és el nombre de punts observats
• Y (X _i ) són les observacions en X _i punts.

A les seccions següents, es descriuen alguns casos particulars de suavitzadors del nucli.

Nucli gaussià més suau

El nucli gaussià és un dels nuclis més utilitzats, i s'expressa amb l'equació següent.

$K(x^{*},x_i)=\exp (-\frac{(x^{*}-x_i{)}^2}{2b^2})$

Aquí, b és l'escala de longitud per a l'espai d'entrada.

Veí més proper més suau

La idea del veí més proper més suau és la següent. Per a cada punt X ₀, pren els m veïns més propers i estima el valor de Y (X ₀ ) fent la mitjana dels valors d'aquests veïns.Formalment, $h_m(X_0)=\Vert X_0-X_{[m]}\Vert$, on $X_{[m]}$ és la m- èma més propera a X ₀ veí, i

$D(t)=\{\begin{array}{cc}1/m& \text{if }|t|\le 1\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$

Exemple:

En aquest exemple, X és unidimensional. Per cada X ₀, el $\hat{Y}(X_0)$ és un valor mitjà de 16 més proper a X ₀ punts (indicat amb vermell). El resultat no és prou suau.

Nucli mitjà més suau

La idea del suau mitjà del nucli és la següent. Per a cada punt de dades X ₀, trieu una mida de distància constant λ (radi del nucli o amplada de la finestra per a p = 1) i calculeu una mitjana ponderada per a tots els punts de dades que estan més a prop de $\lambda$ a X ₀ (com més a prop de X ₀ punts obtenen pesos més alts).

Formalment, $h_{\lambda }(X_0)=\lambda =\text{constant},$ i D (t ) és un dels nuclis populars.