Operador Hutchinson

En matemàtiques, en l'estudi dels fractals, un operador de Hutchinson és l'acció col·lectiva d'un conjunt de contraccions, anomenat sistema de funcions iterades. La iteració de l'operador convergeix a un atractiu únic, que és el conjunt fix sovint autosimilar de l'operador.

Definició

Sigui $\{f_i:X\to X|1\le i\le N\}$ un sistema de funcions iterades o un conjunt de contraccions d'un conjunt compacte $X$ a si mateix. L'operador $H$ es defineix sobre subconjunts $S\subset X$ com

$H(S)=\bigcup _{i=1}^N{f}_i(S).$

Una pregunta clau és descriure els atractius $A=H(A)$ d'aquest operador, que són conjunts compactes. Una manera de generar aquest conjunt és començar amb un conjunt compacte inicial $S_0\subset X$ (que pot ser un únic punt, anomenat llavor) i iterar $H$ com segueix

$S_{n+1}=H(S_n)=\bigcup _{i=1}^N{f}_i(S_n)$

i prenent el límit, la iteració convergeix cap a l'atractor

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n.$

Propietats

Hutchinson va mostrar el 1981 l'existència i la singularitat de l'atractiu $A$ . La demostració segueix mostrant que l'operador de Hutchinson és contractiu en el conjunt de subconjunts compactes de $X$ a la distància de Hausdorff.

Col·lecció de funcions $f_i$ juntament amb la composició formen un monoide. Amb N funcions, es pot visualitzar el monoide com un arbre N-ari complet o un arbre de Cayley.