Operador de decalatge

Plantilla:Confusió En matemàtiques, i més concretament en anàlisi funcional, l'operador de decalatge és un operador que porta una funció Plantilla:Math a la seva translació Plantilla:Math. En l'anàlisi de sèries temporals, hom diu que l'operador de decalatge és l'operador de retard.

Els operadors de decalatge són uns exemples d'operadors lineals, importants per la seva simplicitat i la seva presència natural. L'acció de l'operador de decalatge sobre funcions de variable real juga un rol important en anàlisi harmònica; per exemple, apareix en les definicions de les funcions quasi-periòdiques, les funcions definides positives i la convolució. Els decalatges sobre successions (funcions de variable entera) apareixen en àrees diverses, com ara els espais de Hardy, la teoria de varietats abelianes, o la teoria de dinàmica simbòlica, on l'aplicació del forner n'és una representació explícita.

Definició

Funcions de variable real

L'operador de decalatge Plantilla:Math (Plantilla:Math) porta una funció Plantilla:Math sobre ℝ a la seva translació Plantilla:Math,

$f_t(x)=f(x+t).$

Una representació pràctica de l'operador lineal Plantilla:Math en termes de la seva derivada Plantilla:Math fou introduïda per Lagrange,

$T^t=e^{t\frac{d}{dx}},$

que es pot interpretar com la seva expansió en sèrie de Taylor al voltant de t, i que actua evidentment sobre el monomi xⁿ pel teorema del binomi, i en conseqüència sobre tota la sèrie en x.

Successions

L'operador decalatge cap a l'esquerra actua sobre una successió de nombres infinita per una banda com

$S^{*}:(a_1,a_2,a_3,\dots )\mapsto (a_2,a_3,a_4,\dots )$

i sobre successions infinites per les dues bandes com

$T:(a_k{)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mapsto (a_{k+1}{)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}.$

L'operador decalatge cap a la dreta actua sobre una successió de nombres infinita per una banda com

$S:(a_1,a_2,a_3,\dots )\mapsto (0,a_1,a_2,\dots )$

i sobre successions infinites per les dues bandes com

$T^{-1}:(a_k{)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mapsto (a_{k-1}{)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}.$

Grups abelians

En general, si Plantilla:Math és una funció sobre un grup abelià Plantilla:Math, i Plantilla:Math és un element de Plantilla:Math, l'operador de decalatge Plantilla:Math envia Plantilla:Math a

$f_g(h)=f(g+h).$

Propietats de l'operador de decalatge

L'operador de decalatge, quan actua sobre funcions reals o complexes, o sobre successions, és un operador lineal que preserva la majoria de les normes habituals que apareixen a l'anàlisi funcional. Per tant, normalment és un operador afitat amb la norma-1.

Acció sobre espais de Hilbert

L'operador de decalatge, quan actua sobre successions infinites per les dues bandes, és un operador unitari sobre Plantilla:Math. L'operador de decalatge, quan actua sobre funcions de variable real és un operador unitari sobre Plantilla:Math.

En ambdós casos, l'operador de decalatge (per l'esquerra) satisfà la següent relació de commutativitat amb la transformada de Fourier:

$ℱT^t=M^tℱ,$

on Plantilla:Math és l'operador de multiplicació per Plantilla:Math. Per tant, l'espectre de Plantilla:Math és la circumferència unitat.

L'operador de decalatge d'una sola banda Plantilla:Math, quan actua sobre Plantilla:Math, és una isometria pròpia amb recorregut igual a tots els vectors que tenen la primera coordenada igual a 0. L'operador S és una compressió de T⁻¹, en el sentit que

$T^{-1}y=Sx\text{ per tot }x\in {\ell }^2(\mathbb{N}),$

on Plantilla:Math és el vector de Plantilla:Math amb Plantilla:Math = Plantilla:Math per Plantilla:Math i Plantilla:Math = Plantilla:Math per Plantilla:Math. Aquesta observació és la base de la construcció de moltes dilatacions unitàries d'isometries.

L'espectre de S és el disc unitat. L'operador de decalatge S és un exemple d'un operador de Fredholm, amb índex −1.

Generalització

Jean Delsarte introduí la noció d'operador de decalatge generalitzat (també anomenat operador de desplaçament generalitzat); aquesta noció fou desenvolupada posteriorment per Boris Levitan.

Una família d'operadors Plantilla:Math actuant sobre un espai Plantilla:Math de funcions d'un conjunt Plantilla:Math a Plantilla:Math s'anomena família d'operadors de decalatge generalitzats si es compleixen les següents propietats:

1. Associativitat: sigui Plantilla:Math = Plantilla:Math. Llavors Plantilla:Math = Plantilla:Math.
2. Existeix un Plantilla:Math tal que Plantilla:Math és l'operador identitat.

En aquest cas, hom diu que el conjunt Plantilla:Math és un hipergrup.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Desplaçament aritmètic
• Desplaçament lògic