Oscil·lació de Rabi al buit

Una oscil·lació Rabi al buit és una oscil·lació amortida d'un àtom inicialment excitat acoblat a un ressonador o cavitat electromagnètica en la qual l'àtom emet alternativament fotó (s) en una cavitat electromagnètica monomode i els reabsorbeix. L'àtom interacciona amb un camp monomode confinat a un volum limitat V en una cavitat òptica. L'emissió espontània és una conseqüència de l'acoblament entre l'àtom i les fluctuacions del buit del camp de la cavitat.

Gràfic de l'evolució del component z del vector de Bloch d'un àtom de dos nivells acoblat al camp electromagnètic sotmès a oscil·lacions de Rabi esmorteïdes. La gràfica superior mostra la trajectòria quàntica de l'àtom per a les mesures de recompte de fotons realitzades al camp electromagnètic, la gràfica del mig mostra el mateix per a la detecció d'homodina i la gràfica inferior compara les dues opcions de mesura anteriors (cadascuna amb una mitjana de 32 trajectòries) amb l'evolució incondicionada donada per l'equació mestra.

Tractament matemàtic

Una descripció matemàtica de l'oscil·lació Rabi al buit comença amb el model de Jaynes-Cummings, que descriu la interacció entre un sol mode d'un camp quantificat i un sistema de dos nivells dins d'una cavitat òptica. L'hammiltonià per a aquest model en l'aproximació d'ona rotatòria és

${\hat{H}}_{\text{JC}}=\hslash \omega {\hat{a}}^{†}\hat{a}+\hslash {\omega }_0\frac{{\hat{\sigma }}_z}{2}+\hslash g(\hat{a}{\hat{\sigma }}_{+}+{\hat{a}}^{†}{\hat{\sigma }}_{-})$

on $\widehat{{\sigma }_z}$ és l'operador d'espín z de Pauli per als dos estats propis $|e⟩$ i $|g⟩$ del sistema aïllat de dos nivells separats en energia per $\hslash {\omega }_0$ ; ${\hat{\sigma }}_{+}=|e⟩⟨g|$ i ${\hat{\sigma }}_{-}=|g⟩⟨e|$ són els operadors de pujada i baixada del sistema de dos nivells; ${\hat{a}}^{†}$ i $\hat{a}$ són els operadors de creació i aniquilació de fotons d'energia $\hslash \omega$ en el mode de cavitat; i

$g=\frac{𝐝\cdot \widehat{ℰ}}{\hslash }\sqrt{\frac{\hslash \omega }{2{ϵ}_{0}V}}$

és la força de l'acoblament entre el moment dipolar $𝐝$ del sistema de dos nivells i el mode de cavitat amb volum $V$ i el camp elèctric polaritzat al llarg $\widehat{ℰ}$. Els valors propis i els estats propis d'energia d'aquest model són

$E_{\pm }(n)=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})\pm \frac{\hslash }{2}\sqrt{4g^2(n+1)+{\delta }^2}=\hslash {\omega }_n^{\pm }$

$|n,+⟩=\cos \left({\theta }_n\right)|g,n+1⟩+\sin \left({\theta }_n\right)|e,n⟩$

$|n,-⟩=\sin \left({\theta }_n\right)|g,n+1⟩-\cos \left({\theta }_n\right)|e,n⟩$

on $\delta ={\omega }_0-\omega$ és la desafinació i l'angle ${\theta }_n$ es defineix com

${\theta }_n={\tan }^{-1}\left(\frac{g\sqrt{n+1}}{\delta }\right).$

Donats els estats propis del sistema, l'operador d'evolució temporal es pot escriure en la forma

$\begin{array}{cc}{e}^{-i{\hat{H}}_{\text{JC}}t/\hslash }& =\sum _{|n,\pm ⟩}\sum _{|n^{\prime },\pm ⟩}|n,\pm ⟩⟨n,\pm |e^{-i{\hat{H}}_{\text{JC}}t/\hslash }|n^{\prime },\pm ⟩⟨n^{\prime },\pm |\\ & =e^{i(\omega -\frac{{\omega }_0}{2})t}|g,0⟩⟨g,0|\\ & +\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i{\omega }_n^{+}t}(\cos {\theta }_n|g,n+1⟩+\sin {\theta }_n|e,n⟩)(\cos {\theta }_n⟨g,n+1|+\sin {\theta }_n⟨e,n|)\\ & +\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i{\omega }_n^{-}t}(-\sin {\theta }_n|g,n+1⟩+\cos {\theta }_n|e,n⟩)(-\sin {\theta }_n⟨g,n+1|+\cos {\theta }_n⟨e,n|)\\ \end{array}.$

Si el sistema comença a l'estat $|g,n+1⟩$, on l'àtom es troba en l'estat fonamental del sistema de dos nivells i n'hi ha $n+1$ fotons en el mode de cavitat, l'aplicació de l'operador d'evolució temporal produeix

$\begin{array}{cc}{e}^{-i{\hat{H}}_{\text{JC}}t/\hslash }|g,n+1⟩& =(e^{-i{\omega }_n^{+}t}({\cos }^2({\theta }_n)|g,n+1⟩+\sin {\theta }_n\cos {\theta }_n|e,n⟩)+e^{-i{\omega }_n^{-}t}(-{\sin }^2({\theta }_n)|g,n+1⟩-\sin {\theta }_n\cos {\theta }_n|e,n⟩)\\ & =(e^{-i{\omega }_n^{+}t}+e^{-i{\omega }_n^{-}t})\cos (2{\theta }_n)|g,n+1⟩+(e^{-i{\omega }_n^{+}t}-e^{-i{\omega }_n^{-}t})\sin (2{\theta }_n)|e,n⟩\\ & =e^{-i{\omega }_c(n+\frac{1}{2})}[\cos \left(\frac{t}{2}\sqrt{4g^2(n+1)+{\delta }^2}\right)[\frac{{\delta }^2-4g^2(n+1)}{{\delta }^2+4g^2(n+1)}]|g,n+1⟩+\sin \left(\frac{t}{2}\sqrt{4g^2(n+1)+{\delta }^2}\right)\left[\frac{8{\delta }^2{g}^2(n+1)}{{\delta }^2+4g^2(n+1)}\right]|e,n⟩]\end{array}.$

La probabilitat que el sistema de dos nivells estigui en estat excitat $|e,n⟩$ en funció del temps $t$ és aleshores

$\begin{array}{cc}{P}_e(t)& =|⟨e,n|e^{-i{\hat{H}}_{\text{JC}}t/\hslash }|g,n+1⟩{|}^2\\ & ={\sin }^2\left(\frac{t}{2}\sqrt{4g^2(n+1)+{\delta }^2}\right)\left[\frac{8{\delta }^2{g}^2(n+1)}{{\delta }^2+4g^2(n+1)}\right]\\ & =\frac{4g^2(n+1)}{{\mathrm{\Omega }}_n^2}{\sin }^2\left(\frac{{\mathrm{\Omega }}_{n}t}{2}\right)\end{array}$

on ${\mathrm{\Omega }}_n=\sqrt{4g^2(n+1)+{\delta }^2}$ s'identifica com la freqüència de Rabi. Per al cas que no hi hagi camp elèctric a la cavitat, és a dir, el nombre de fotons $n$ és zero, la freqüència de Rabi esdevé ${\mathrm{\Omega }}_0=\sqrt{4g^2+{\delta }^2}$. Aleshores, la probabilitat que el sistema de dos nivells passi del seu estat fonamental al seu estat excitat en funció del temps $t$ és

$P_e(t)=\frac{4g^2}{{\mathrm{\Omega }}_0^2}{\sin }^2\left(\frac{{\mathrm{\Omega }}_{0}t}{2}\right).$

Per a una cavitat que admet un únic mode perfectament ressonant amb la diferència d'energia entre els dos nivells d'energia, la desintonització $\delta$ desapareix, i $P_e(t)$ es converteix en una sinusoide al quadrat amb unitat d'amplitud i període $\frac{2\pi }{g}.$