Període de Pisano

Gràfic de punts dels primers 10000 períodes de Pisano. L'eix horitzontal correspon al mòdul (n) i l'eix vertical a la llargada del període corresponent ($\pi (n)$).

En teoria de nombres, el període de Pisano $\pi (n)$ essent n qualsevol nombre enter, és la funció periòdica resultant d'aplicar un mòdul n a la successió de Fibonacci. Rep el nom de Leonardo Pisano, més conegut com a Fibonacci, i va ser descrit per Joseph Louis Lagrange l'any 1774.

Definició

La successió de Fibonacci és la seqüència d'enters resultant d'aplicar la següent relació de recurrència:

$F_0=0$

$F_1=1$

$F_i=F_{i-1}+F_{i-2}.$

Per tot nombre enter n, s'obté una seqüència periòdica després d'aplicar el mòdul n a tots els valors de la successió de Fibonacci. El període en aquesta seqüència s'anomena període de Pisano. Per exemple, la seqüència resultant d'aplicar el mòdul 3 comença:

0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, ... Plantilla:OEIS

Aquesta seqüència té període 8, per tant $\pi (3)=8$.

La seqüència amb els valors de $\pi (n)$ es pot trobar a l'OEIS A001175.

No es coneix cap fórmula generalitzada que permeti obtenir la llargada del període a partir de n, tot i que se sap que aquesta depèn estretament de la factorització del divisor.

Propietats

A excepció de $\pi (2)=3$, el període de Pisano $\pi (n)$ sempre és parell. Una prova senzilla d'això es pot donar observant que $\pi (n)$ és igual a l'ordre de la matriu de Fibonacci

$𝐐=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

en el grup lineal general GL₂(ℤ_n) de les matrius de 2x2 invertibles en l'anell finit ℤ_n dels enters del mòdul n. Com que el determinant de Q és -1, el determinant de Q^π(n) és (-1)^π(n), i com que aquest ha d'equivaldre a 1 en ℤ_n, llavors $\pi (n)$ és parell per tot n major de 2.

Si m divideix n, que es representa $m|n$, llavors $\pi (m)|\pi (n)$. Per aquest motiu, si m i n són coprimers, llavors $\pi (mn)$ és el mínim comú múltiple de $\pi (m)$ i $\pi (n)$, segons el teorema xinès del residu. Per exemple, $\pi (3)=8$ i $\pi (4)=6$ impliquen que $\pi (12)=24$. Per tant, l'estudi dels períodes de Pisano es pot reduir al dels períodes de Pisano de potències de primers $q=p^k$ per k majors o iguals que 1.

Si p és primer, $\pi (p^k)$ divideix $p^{k-1}\pi (p)$.Plantilla:Efn Això implica que l'estudi dels períodes de Pisano es pot reduir encara més a l'estudi dels períodes de Pisano primers, amb dos primers anòmals; $\pi (2)$ pel fet d'obtenir un període senar,Plantilla:Efn i $\pi (5)$ perquè té un període relativament més llarg que el de qualsevol altre primer.Plantilla:EfnPlantilla:Efn La resta de primers es troben en residus de classe $p\equiv \pm 1\text{(mod 10)}$ o bé $p\equiv \pm 3\text{(mod 10)}$. Si p és un primer diferent de 2 ó 5, llavors el mòdul p anàleg a la fórmula de Binet implica que $\pi (p)$ és l'ordre multiplicatiu d'una arrel de $x^2-x-1\text{(mod }p\text{)}$. Si $p\equiv \pm 1\text{(mod 10)}$, aquestes arrels formen part de ${𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ per reciprocitat quadràtica. Per tant, el seu ordre, $\pi (p)$ és un divisor de p - 1.Plantilla:Efn En canvi, si $p\equiv \pm 3\text{(mod 10)}$ les arrels del mòdul p de l'equació quadràtica no formen part de ${𝔽}_p$, sinó del cos finit ${𝔽}_p[x]/(x^2-x-1)$.

Com que l'endomorfisme de Frobenius $x\mapsto x^p$ intercanvia aquestes arrels, denotant-les r i s, es dedueix que $r^p=s$ i, per tant, $r^{p+1}=-1$. S'obté $r^{2(p+1)}=1$, i el període de Pisano, que és l'ordre de r, és el quocient de 2(p+1) per un divisor senar.Plantilla:Efn Aquest quocient és sempre múltiple de 4. Seguint aquests resultats, obtenim que si $n=p^k$ és una potència senar de primers tal que $\pi (n)$ és major que n, llavors $\pi (n)/4$ és un nombre enter que no és major que n. La propietat multiplicativa dels períodes del Pisano implica que $\pi (n)$ és més petit o igual que 6n, essent exactament 6n si i només si $n=2\cdot 5^r$ per r major o igual que 1.Plantilla:Efn

S'anomenen punts fixos aquells valors de n on $\pi (n)=n$. Concretament, això passa quan $n=24\cdot 5^k$.

Patrons dins del cicle

Representació cíclica del període n = 10 (4 zeros) amb els punts de 0 a n-1 units amb línies seguint la seqüència. Amb els períodes amb 4 zeros s'obté un graf simètric verticalment, amb 1 zero és asimètric, i amb 2 zeros es donen els dos casos.Plantilla:Efn En verd una única connexió, en blau dues.

Si es defineix un bloc com un subperíode que comença amb zero, tots els períodes de Pisano es divideixen en 1, 2 o 4 blocs de la mateixa llargada.

Es poden veure a l'OEIS les seqüències amb els valors on el període té 1 (A053031), 2 (A053030) i 4 (A053029) zeros respectivament.

Sigui $T_i$ el nombre de vegades que apareix el valor i a la seqüència, s'anomenen seqüències simètriques aquelles on per tot i major que 0 i menor que n, es compleix $T_i=T_{n-i}$. Tots els períodes amb 4 zeros són simètrics, tots els períodes amb 1 zero són asimètrics, i els períodes amb 2 zeros poden ser dels dos tipus.Plantilla:Efn

Per exemple, quan n = 30 s'obté una seqüència de 120 i amb 2 zeros, per tant dos blocs de 60. Si es fa un recompte de tot valor i de 0 fins a n-1, es pot observar que aquesta seqüència és simètrica (s'ha subratllat el 4, corresponent al punt central):

(2), { 5, 3, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 3, 5, 2, 5, 3, Plantilla:Subratllat, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 3, 5 }

Es postula que si un període n és asimètric, tots els períodes kn també ho són. També s'ha observat que en períodes de la forma 5k, el resultat d'aquest recompte es pot dividir en 5 grups iguals.

Tornant a mirar l'exemple per n = 30, els grups resultants són:

[ 2, 5, 3, 4, 3, 5 ], [ 2, 5, 3, 4, 3, 5 ], [ 2, 5, 3, 4, 3, 5 ], [ 2, 5, 3, 4, 3, 5 ], [ 2, 5, 3, 4, 3, 5 ]

Enllaços externs

• Jacob Yatsko, "A New Way to Look at Fibonacci Numbers" a YouTube, amb versió interactiva disponible. [Consulta: 1 octubre 2021]
• Plantilla:Ref-web [Consulta: 1 octubre 2021]