Polinomis de Bateman

En matemàtiques, els polinomis de Bateman F_n són una família de polinomis ortogonals introduïda per Bateman (1993).Plantilla:Sfn Els polinomis de Bateman-Pasternack són una generalització introduïda per Pasternack (1939).Plantilla:Sfn

Els polinomis de Bateman es poden definir mitjançant la relació

$F_n\left(\frac{d}{dx}\right)\mathrm{sech}(x)=\mathrm{sech}(x)P_n(\tanh (x)).$

on P_n és un polinomi de Legendre. En termes de funcions hipergeomètriques generalitzades, estan donades per

$F_n(x)={}_3{F}_2(\begin{array}{c}-n,n+1,\frac{1}{2}(x+1)\\ 1,1\end{array};1).$

Pasternack (1939)Plantilla:Sfn va generalitzar els polinomis de Bateman en forma de polinomis FPlantilla:Su amb

$F_n^m\left(\frac{d}{dx}\right){\mathrm{sech}}^{m+1}(x)={\mathrm{sech}}^{m+1}(x)P_n(\tanh (x))$

Aquests polinomis generalitzats també tenen una representació en termes de funcions hipergeomètriques generalitzades

$F_n^m(x)={}_3{F}_2(\begin{array}{c}-n,n+1,\frac{1}{2}(x+m+1)\\ 1,m+1\end{array};1).$

Carlitz (1957)Plantilla:Sfn va demostrar que els polinomis Q_n van ser estudiats per Touchard (1956);Plantilla:Sfn vegeu els polinomis de Touchard, són els mateixos que els polinomis de Bateman fins a un canvi de variable, més precisament

$Q_n(x)=(-1{)}^n{2}^{n}n!{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}^{-1}{F}_n(2x+1)$

Els polinomis de Bateman i Pasternack són casos especials dels polinomis continus de Hahn simètrics.

Definició

Bateman va definir inicialment els polinomis $F_n$ en termes de la funció hipergeomètrica i una sèrie generatriu:Plantilla:Sfn

$$(1-t{)}^{z}F(\frac{1+z}{2},\frac{1+z}{2},1;t^2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^n{F}_n(z)$$Una definició equivalent de la funció hipergeomètrica generalitzada és:

$$F_n(z)={}_3{F}_2(\begin{array}{c}-n,n+1,\frac{1}{2}(z+1)\\ 1,1\end{array};1)$$

Bateman també va demostrar que aquests polinomis satisfan una relació de recurrència: $(n+1{)}^2{F}_{n+1}(z)=-(2n+1)z{F}_n(z)+n^2{F}_{n-1}(z)$, amb $F_0(z)=1,F_1(z)=-z$. En particular, aquesta relació estableix que el grau de $F_n$és exactament $n$.

Exemples

Polinomis de Bateman

Els primers polinomis de Bateman són:

$F_0(x)=1$;

$F_1(x)=-x$;

$F_2(x)=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{x}^2$;

$F_3(x)=-\frac{7}{12}x-\frac{5}{12}{x}^3$;

$F_4(x)=\frac{9}{64}+\frac{65}{96}{x}^2+\frac{35}{192}{x}^4$;

$F_5(x)=-\frac{407}{960}x-\frac{49}{96}{x}^3-\frac{21}{320}{x}^5$;

Propietats

Ortogonalitat

Els polinomis de Bateman satisfan la relació d'ortogonalitatPlantilla:SfnPlantilla:Sfn

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_m(ix)F_n(ix){\mathrm{sech}}^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)dx=\frac{4(-1{)}^n}{\pi (2n+1)}{\delta }_{mn}.$

on ${\delta }_{m,n}$ és la delta de Kronecker. En particular, no es tracten de polinomis ortonormals, però podem escriure $B_n(z)=2i^n{F}_n(iz)/\sqrt{\pi (2n+1)}$que verifiquen $⟨B_n,B_m⟩={\delta }_{m,n}$, els «polinomis de Bateman normalitzats».

El factor $(-1{)}^n$ es produeix a la part dreta d'aquesta equació perquè els polinomis de Bateman, tal com es defineixen aquí, han de ser escalats per un factor $i^n$ per fer que siguin ben valorats per l'argument imaginari. La relació d'ortogonalitat és més simple quan s'expressa en termes d'un conjunt modificat de polinomis definits per $B_n(x)=i^n{F}_n(ix)$, per la qual cosa es converteix en

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{B}_m(x)B_n(x){\mathrm{sech}}^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)dx=\frac{4}{\pi (2n+1)}{\delta }_{mn}.$

Relació de recurrència

La seqüència dels polinomis de Bateman satisfà la relació de recurrènciaPlantilla:Sfn

$(n+1{)}^2{F}_{n+1}(z)=-(2n+1)z{F}_n(z)+n^2{F}_{n-1}(z).$

Funció generatriu

Els polinomis de Bateman tenen la funció generatriu

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^n{F}_n(z)=(1-t{)}^z{}_2{F}_1(\frac{1+z}{2},\frac{1+z}{2};1;t^2),$

que de vegades s'utilitza per definir-los.Plantilla:Sfn

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació