Potencial retardat

Plantilla:ElectromagnetismeEn electrodinàmica, els potencials retardats són els potencials electromagnètics per al camp electromagnètic generat per corrents elèctrics variables en el temps o distribucions de càrrega en el passat. Els camps es propaguen a la velocitat de la llum c, de manera que el retard dels camps que connecten causa i efecte en moments anteriors i posteriors és un factor important: el senyal triga un temps finit a propagar-se des d'un punt de la distribució de càrrega o corrent (el punt de la causa) a un altre punt de l'espai (on es mesura l'efecte), vegeu la figura següent.

Calibre de Lorenz

Els vectors de posició r i r ′ utilitzats en el càlcul

El punt de partida són les equacions de Maxwell en la formulació de potencial utilitzant el calibre de Lorenz:

$◻\phi =\frac{\rho }{{ϵ}_0},◻𝐀={\mu }_0𝐉$

on φ(r,t) és el potencial elèctric i A(r, t) és el potencial vector magnètic, per a una font arbitrària de densitat de càrrega ρ(r,t) i densitat de corrent J(r, t) i $◻$ és l'operador D'Alembert. La resolució d'aquests dóna els potencials retardats a continuació (tots en unitats SI).

Per a camps que depenen del temps

Per a camps dependents del temps, els potencials retardats són:

$\mathrm{\phi }(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }.$

on r és un punt de l'espai, t és el temps,

$t_r=t-\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$

és el temps retardat, i d³ r' és la mesura d'integració utilitzant r'.

A partir de φ(r,t) i A(r,t), els camps E(r,t) i B(r,t) es poden calcular utilitzant les definicions dels potencials:

$-𝐄=\mathrm{\nabla }\phi +\frac{\partial 𝐀}{\partial t},𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀.$

i això condueix a les equacions de Jefimenko. Els potencials avançats corresponents tenen una forma idèntica, excepte el temps avançat

$t_a=t+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$

substitueix el temps retardat.

En el calibre de Coulomb

En el calibre de Coulomb, les equacions de Maxwell són

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}=-{\mu }_0𝐉+\frac{1}{c^2}\mathrm{\nabla }\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right),$

encara que les solucions contrasten amb l'anterior, ja que A és un potencial retardat, però φ canvia a l'instant, donat per:

$\phi (𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\mathrm{\nabla }\times \int {\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }\underset{0}{\overset{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|/c}{\int }}\mathrm{d}{t}_r\frac{t_r𝐉({𝐫}^{\prime },t-t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}\times (𝐫-{𝐫}^{\prime }).$

Això presenta un avantatge i un desavantatge del mesurador de Coulomb - φ és fàcilment calculable a partir de la distribució de càrrega ρ però A no és tan fàcilment calculable a partir de la distribució actual j. Tanmateix, sempre que necessitem que els potencials s'esvaeixen a l'infinit, es poden expressar clarament en termes de camps:

$\phi (𝐫,t)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄({𝐫}^{\prime },t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{\mathrm{\nabla }\times 𝐁({𝐫}^{\prime },t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$