Principi d'invariància de LaSalle

El principi d'invariància de LaSalle (també conegut com el principi d'invariància, el principi de Barbaixin-Krassovski-LaSalle, o el principi de Krassovski-LaSalle) és un criteri per a l'estabilitat asimptòtica d'un sistema dinàmic autònom (possiblement no lineal).

Versió global

Suposi's un sistema representat per

$\dot{𝐱}=f\left(𝐱\right)$

on $𝐱$ és el vector de variables, amb

$f\left(\mathrm{𝟎}\right)=\mathrm{𝟎}.$

Si es pot trobar una funció $C^1$(és a dir, diferenciable) $V(𝐱)$ tal que

$\dot{V}(𝐱)\le 0$ per tot $𝐱$ (semi-definida negativa),

llavors el conjunt de punts d'acumulació de qualsevol trajectòria es troba contingut dins de $ℐ$ on $ℐ$ és la unió de trajectòries completes contingudes completament en el conjunt $\{𝐱:\dot{V}(𝐱)=0\}$.

Si, a més, es té que la funció $V$ és definida positiva, és a dir

$V(𝐱)>0$, per tot $𝐱\ne \mathrm{𝟎}$

$V(\mathrm{𝟎})=0$

i si $ℐ$ no conté cap trajectòria del sistema excepte la trajectòria trivial $𝐱(t)=\mathrm{𝟎}$ per $t\ge 0$, llavors l'origen és asimptòticament estable.

A més, si $V$ és fitat radialment, és a dir, si

$V(𝐱)\to \mathrm{\infty }$, a mesura que $\Vert 𝐱\Vert \to \mathrm{\infty }$

llavors l'origen és globalment asimptòticament estable.

Versió local

Si

$V(𝐱)>0$, quan $𝐱\ne \mathrm{𝟎}$

$\dot{V}(𝐱)\le 0$

és vàlid per $𝐱$ en algun veïnat $D$ de l'origen, i el conjunt

$\{\dot{V}(𝐱)=0\}\cap D$

no conté cap trajectòria del sistema més enllà de la trajectòria $𝐱(t)=\mathrm{𝟎},t\ge 0$, llavors la versió local del principi d'invariància afirma que l'origen és localment asimptòticament estable.

Relació amb la teoria de Liapunov

Si $\dot{V}(𝐱)$ és una funció negativa, l'estabilitat asimptòtica global de l'origen és una conseqüència del segon teorema de Liapunov. El principi d'invariància dona un criteri per a l'estabilitat asimptòtica en el cas que $\dot{V}(𝐱)$ és només no positiva.

Exemple: el pèndol amb fricció

En aquesta secció s'aplicarà el principi d'invariància per establir l'estabilitat asimptòtica local d'un sistema simple, el pèndol amb fricció. Es pot modelar el sistema amb l'equació diferencial Plantilla:Ref

$ml\ddot{\theta }=-mg\sin \theta -kl\dot{\theta }$

on $\theta$ és l'angle que el pèndol fa amb la normal vertical, $m$ és la massa del pèndol, $l$ és la longitud del pèndol, $k$ és el coeficient de fricció, i $g$ és l'acceleració deguda a la gravetat.

Així mateix, això es pot escriure com el sistema d'equacions

${\dot{x}}_1=x_2$

${\dot{x}}_2=-\frac{g}{l}\sin x_1-\frac{k}{m}{x}_2$

Utilitzant el principi d'invariància, es pot demostrar que totes les trajectòries que pertanyen a una bola d'una certa mida al voltant de l'origen $x_1=x_2=0$ convergeixen asimptòticament a l'origen. Es defineix $V(x_1,x_2)$ com

$V(x_1,x_2)=\frac{g}{l}(1-\cos x_1)+\frac{1}{2}{x}_2^2$

Aquesta funció $V(x_1,x_2)$ és simplement l'energia escalada del sistema Plantilla:Ref. Clarament, $V(x_1,x_2)$ és definida positiva en la bola oberta de radi $\pi$ al voltant de l'origen. Calculant la derivada,

$\dot{V}(x_1,x_2)=\frac{g}{l}\sin x_1{\dot{x}}_1+x_2{\dot{x}}_2=-\frac{k}{m}{x}_2^2$

S'observa que $V(0)=\dot{V}(0)=0$. Si fos veritat que $\dot{V}<0$, es podria concloure que tota trajectòria s'apropa a l'origen pel segon teorema de Liapunov. Malauradament, $\dot{V}\le 0$ i $\dot{V}$ és només semi-definida negativa ja que $x_1$ pot no ser zero quan $\dot{V}=0$. Tanmateix, el conjunt

$S=\{(x_1,x_2)|\dot{V}(x_1,x_2)=0\}$

que és simplement el conjunt

$S=\{(x_1,x_2)|x_2=0\}$

no conté cap trajectòria del sistema, excepte de la trajectòria trivial x = 0. En efecte, si en algun instant de temps $t$, $x_2(t)=0$, llavors com que $x_1$ ha de ser menor que $\pi$ lluny de l'origen, $\sin x_1\ne 0$ i ${\dot{x}}_2(t)\ne 0$. Com a resultat, la trajectòria no es romandrà en el conjunt $S$.

Se satisfan totes les condicions de la versió local del principi d'invariància i es pot concloure que tota trajectòria que comenci en algun veïnat de l'origen convergirà a l'origen a mesura que $t\to \mathrm{\infty }$.Plantilla:Ref

1. REDIRECCIÓ Nom de la pàgina destinació

Història

El resultat general va ser descobert independentment per Joseph P. LaSalle i per Nikolai Krassovski, que van publicar-lo l'any 1960 i 1959 respectivament. Així com LaSalle va ser el primer autor occidental a publicar el teorema general l'any 1960, un cas especial del teorema va ser anunciat l'any 1952 per Barbaixin i Krassovski, seguit per una publicació del resultat general l'any 1959.Plantilla:Ref

Articles originals

• LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF Plantilla:Webarchive)
• Plantilla:Ref-publicació
• Krassovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Referències

1. Plantilla:Note Lecture notes on nonlinear control, University of Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, lecture 4.
2. Plantilla:Note ibid.
3. Plantilla:NoteLecture notes on nonlinear analysis, National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2.
4. Plantilla:Note Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.