Problema del moment d'Stieltjes

En matemàtiques, el problema del moment d'Stieltjes, que rep el nom de Thomas Joannes Stieltjes, cerca les condicions necessàries i suficients per tal que una successió (m₀, m₁, m₂, ...) tingui la forma

$m_n=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{n}d\mu (x)$

per a una mesura μ donada. Si aquesta funció μ existeix, hom es pregunta si és única.

La diferència essencial entre aquest i altres problemes de moment coneguts és que es troba en una mitja línia [0,∞), mentre que el problema del moment de Hausdorff considera un interval acotat entre [0,1], i el problema del moment d'Hamburger considera la recta sencera (−∞,̝∞).

Existència

Sigui

${\mathrm{\Delta }}_n=\left[\begin{array}{ccccc}{m}_0& m_1& m_2& \cdots & m_n\\ m_1& m_2& m_3& \cdots & m_{n+1}\\ m_2& m_3& m_4& \cdots & m_{n+2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ m_n& m_{n+1}& m_{n+2}& \cdots & m_{2n}\end{array}\right]$

i

${\mathrm{\Delta }}_n^{(1)}=\left[\begin{array}{ccccc}{m}_1& m_2& m_3& \cdots & m_{n+1}\\ m_2& m_3& m_4& \cdots & m_{n+2}\\ m_3& m_4& m_5& \cdots & m_{n+3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ m_{n+1}& m_{n+2}& m_{n+3}& \cdots & m_{2n+1}\end{array}\right].$

Aleshores {m _n: n = 1, 2, 3, ... } és una seqüència de moments d'alguna mesura entre $[0,\mathrm{\infty })$ amb suport infinit si i només si per a tots els n, tots dos satisfan

$\det ({\mathrm{\Delta }}_n)>0\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\det \left({\mathrm{\Delta }}_n^{(1)}\right)>0.$

i per a tots els $n$ més grans es compleix que

$\det ({\mathrm{\Delta }}_n)=0\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\det \left({\mathrm{\Delta }}_n^{(1)}\right)=0.$

Unicitat

Hi ha diverses condicions suficients per a la unicitat, per exemple, la condició de Carleman, que afirma que la solució és única si

$\sum _{n\ge 1}{m}_n^{-1/(2n)}=\mathrm{\infty }.$

Referències

• Plantilla:Citar ref