Problema dels divisors petits

El problema de petits divisors és un problema clau en l'estudi la teoria KAM. Aquesta equació surt en molts esquemes KAM en el moment de linealitzar les equacions.

Definició

Sigui ${𝕋}^n:={ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^n$ el tor $n$ dimensional, $\omega \in {ℝ}^n$ un vector i $f:{𝕋}^n⟶ℝ$ una funció amb $n$ períodes i mitja zero, $\underset{{𝕋}^n}{\int }f(x)\text{d}x=0$. El problema dels petits divisors es defineix com l'equació funcional

$\sum _{i=1}^n\frac{\partial g}{\partial x_i}{\omega }_i=f(x),$

a on $g$ és la funció incògnita.

Solució formal

Formalment aquesta equació es pot resoldre terme a terme si expressem les funcions amb les seves sèries de Fourier: Si escrivim $f(x)=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}{\hat{f}}_k{e}^{2\pi ik\cdot x}$, $g(x)=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}{\hat{g}}_k{e}^{2\pi ik\cdot x}$llavors tenim que els coeficients de $g$ compleixen

${\hat{g}}_k=\frac{{\hat{f}}_k}{2\pi ik\cdot \omega },\text{si }k\ne 0,{\hat{g}}_0=0$.

La condició de mitja zero de $f$ és equivalent a ${\hat{f}}_0=0$ i fa que hi hagi solució formal.

Existència de solucions suaus

La demostració de l'existència de suaus és un resultat clau i amb encara forces preguntes sense resoldre. Un resultat clàssic, degut a Rüssmann, és el següent:

Teorema

Si $\omega \in {ℝ}^n$ és diofantí amb constants $\gamma ,\tau$ i la funció $f$ és analítica en el tor complex ${𝕋}^n\times [-\rho ,\rho ]i$ amb norma $\Vert f{\Vert }_{\rho }:=\underset{x\in {𝕋}^n\times [-\rho ,\rho ]i}{\max }|f(x)|$, llavors per a tot $\epsilon$ que compleixi $\rho >\epsilon >0$ és té que l'equació de petits divisors té solució analítica $g$ en el tor complex ${𝕋}^n\times [-\rho +\epsilon ,\rho -\epsilon ]i$ i la norma de $g$ compleix

$\Vert g{\Vert }_{\rho -\epsilon }\le \frac{c_R(\tau )}{\gamma {ϵ}^{\tau }}\Vert f{\Vert }_{\rho }$

amb $c_R(\tau )=\sqrt{2^{n+1}\zeta (2,2^{\tau })(2\pi {)}^{-2\tau -2}\mathrm{\Gamma }(2\tau +1)}$.

Bibliografia

• de la Llave, Rafael, A tutorial on KAM theory, In Smooth ergodic theory and its applications (Seattle, WA, 1999), volume 69 of Proc. Sympos. Pure Math., pages 175–292. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.

Vegeu també

• Teoria KAM
• Teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser