Procés de Bessel

Tres realitzacions dels processos de Bessel.

En matemàtiques, un procés de Bessel, que rep el nom de Friedrich Bessel, és un tipus de procés estocàstic.

Definició formal

El procés de Bessel d'ordre n és el procés de valor real X donat (quan n ≥ 2) per

$X_t=\Vert W_t\Vert ,$

on ||·|| denota la norma euclidiana en Rⁿ i W és un procés de Wiener n-dimensional (moviment brownià). Per a qualsevol n, el procés de Bessel n -dimensional és la solució de l'equació diferencial estocàstica (SDE)

$d{X}_t=d{W}_t+\frac{n-1}{2}\frac{dt}{X_t}$

on W és un procés de Wiener unidimensional ( moviment brownià ). Tingueu en compte que aquest SDE té sentit per a qualsevol paràmetre real $n$ (tot i que el terme de deriva és singular a zero).

Notació

Una notació per al procés de Bessel de dimensió Plantilla:Mvar començat a zero és Plantilla:Math.

En dimensions específiques

Per n ≥ 2, el procés de Wiener n -dimensional iniciat a l'origen és transitori des del seu punt de partida: amb una probabilitat, és a dir, X _t > 0 per a totes les t > 0. És, però, recurrent veïnal per al n = 2, és a dir, amb probabilitat 1, per a qualsevol r > 0, hi ha t arbitràriament grans amb X _t < r ; d'altra banda, és realment transitori per a n > 2, és a dir que X _t ≥ r per a tots els t prou grans.

Per n ≤ 0, el procés de Bessel s'inicia normalment en punts diferents de 0, ja que la deriva cap a 0 és tan forta que el procés s'encalla a 0 tan aviat com arriba a 0.

Relació amb el moviment brownià

Els processos de Bessel 0 i 2-dimensionals estan relacionats amb els temps locals del moviment brownià mitjançant els teoremes de Ray-Knight.

La llei d'un moviment brownià prop de l'extrema x és la llei d'un procés de Bessel tridimensional (teorema de Tanaka).