Producte Kronecker

El producte Kronecker, denotat per ⊗ ($\otimes$) és una operació entre dues matrius d'una mida arbitrària que donen com a resultat una matriu en blocs. És un cas especial del producte tensorial. S'ha de distingir entre el producte Kronecker i la multiplicació de matrius. Són dues operacions completament diferents.

Definició

Si A és una matriu de dimensions m per n i B és una matriu de dimensions p per q, aleshores el producte Kronecker A⊗B és la matriu de blocs de dimensions mp per nq:$A\otimes B=(a{)}_{ij}\cdot B$

Això es correspon amb la matriu:

$A\otimes B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right)$

O més explícitament,

$A\otimes B=\left(\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \cdots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right)$

Exemples

$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 3\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\\ 1\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 0\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 0\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\\ 1\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0& 5& 0& 15& 0& 10\\ 5& 0& 15& 0& 10& 0\\ 1& 1& 3& 3& 2& 2\\ 0& 5& 0& 0& 0& 0\\ 5& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 10& 0& 10\\ 5& 0& 10& 0& 10& 0\\ 1& 1& 2& 2& 2& 2\end{array}\right)$

Propietats

Bilinealitat i associativitat

El producte Kronecker és un cas especial del producte tensorial, i, per tant, és bilineal i associatiu:

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C$ si B i C tenen les mateixes dimensions,

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$ si A i B tenen les mateixes dimensions,

$(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),$

$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),$

on A, B i C són matrius i on k és un escalar.

El producte Kronecker no és commutatiu: Això és, en general, A⊗B i B⊗A són matrius diferents. Tanmateix, A⊗B i B⊗A són permutacions equivalents. Això és, hi ha unes matrius de permutació P i Q tals que $A\otimes B=P(B\otimes A)Q.$