Producte de Wallis

Comparació de la convergència del producte de Wallis (asteriscs liles) i diverses sèries infinites per π. Sn és l'aproximació després de prendre n termes. Cada subgràfica amplia la precisió de la imatge en un factor de 10.

En matemàtiques, el producte de Wallis és una expressió que s'utilitza per representar el valor de π que va ser descoberta pel matemàtic anglès John Wallis el 1655 i que estableix queː

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1})=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots =\frac{\pi }{2}$

Demostració

Abans de res, s'ha de considerar que les arrels de sin(x)/x són ±nπ, on n = 1, 2, 3.... Llavors, es pot expressar el sinus com un producte infinit de factors lineals d'arrelsː

$\frac{\sin (x)}{x}=k(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })$

on k és una constant.

Per trobar la constant k, es pren el límit en ambdós costatsː

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }(k(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\cdots )=k$

Sabent que:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$

Es fa k=1. S'obté la fórmula d'Euler-Wallis per al sinus:

$\frac{\sin (x)}{x}=(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\cdots$

$\frac{\sin (x)}{x}=(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{9{\pi }^2})\cdots$

Fent x=π/2, s'obté:

$\frac{1}{\pi /2}=(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{4^2})(1-\frac{1}{6^2})\cdots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{4n^2})$

$\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{4n^2}{4n^2-1})$

$=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1})=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots$

Enllaços externs

• Plantilla:Springer