Propietat de Màrkov

Plantilla:Falten referències La propietat de Màrkov defineix que una cadena de Màrkov es pot caracteritzar per la probabilitat d'anar a l'estat n+1 condicionada al fet que abans siguem a l'estat nn:

$P(X_n+1|X_n)$

Que és la probabilitat de transició del procés. La propietat de les cadenes de Màrkov és que les transicions entre els estats, només pot produir-se entre estats veïns. Només es pot arribar a l'estat i des de l'estat i-1 o bé de i+1.

Aquest tipus d'estadístiques se sol trobar en la distribució exponencial, la funció de densitat de probabilitat de la qual s'expressa així:

$f_{\tau }(t)=\lambda e^{-\lambda t}t>0$

Comprovem que un procés definit per aquesta fdp no té memòria. La probabilitat que hi haja una transició entre 0 i un temps t qualsevol és:

$P(0<\tau <t)=P(\tau <t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\lambda e^{-\lambda \tau }d\tau$

Si integrem, obtenim:

$P(\tau <t)=e^{-\lambda \cdot 0}-e^{-\lambda t}=1-e^{-\lambda t}$

Ara anem a calcular la probabilitat per al mateix interval t, però amb un instant d'inici diferent t₀. Calculem la probabilitat de tindre una transició en l'interval t (de t₀ fins a t₀+t) condicionat al fet que abans de t₀ no hi ha hagut cap transició:

$P(t_0<\tau <t_0+t|\tau >t_0)=\frac{p(t_0<\tau <t_0+t)}{p(\tau >t_0)}$

Substituint per les fdp i substituint:

$P(t_0<\tau <t_0+t|\tau >t_0)=\frac{\underset{t_0}{\overset{t_0+t}{\int }}\lambda e^{-\lambda \tau }d\tau }{\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\lambda e^{-\lambda \tau }d\tau }=\frac{e^{-\lambda t_0}-e^{-\lambda (t_0+t)}}{e^{-\lambda t_0}-e^{-\lambda \cdot \mathrm{\infty }}}=\frac{e^{-\lambda t_0}(1-e^{-\lambda t})}{e^{-\lambda t_0}-0}=1-e^{-\lambda t}$

Amb la qual cosa queda demostrat que la probabilitat de tindre una transició en un estat no depèn del temps anterior.