Quantificador (lògica)

A lògica i teoria de conjunts, un quantificador s'utilitza per indicar quants elements d'un conjunt donat compleixen amb certa propietat. Existeixen molts tipus de quantificadors, però potser els més estudiats i utilitzats siguin:

• Quantificador universal

$\mathrm{\forall }x,y\dots$

Per a tot x, i. ..

• Quantificador existencial

$\mathrm{\exists }x,y\dots$

Hi ha almenys un x, i. ..

• Quantificador existencial únic

$\mathrm{\exists }!x,y\dots$

Hi ha exactament un x, i. ..

• Negació del quantificador existencial

$\nexists x,y\dots$

No hi ha cap x, i. ..

Declaracions quantificades

Les declaracions quantificades s'escriuen en la forma:

• $\mathrm{\forall }x\in ℝ,2x\in ℝ$

Per a tot x que pertany a R , es compleix que 2x pertany a R .

• $\mathrm{\forall }a\in ℝ,\mathrm{\exists }x\in ℝ:a<x<(a+1)$

Per a tot a que pertany a R , hi ha x que pertany a R , que aquesta comprès entre a i a+1 .

• $\mathrm{\forall }a\in ℝ-0,\mathrm{\exists }!x\in ℝ:a\cdot x=1$

Per a tot a que pertany a R diferent de zero, hi ha un únic x que pertany a R , que compleix que a per x és igual a 1 .

Proposicions

Quantificació universal

El quantificador universal es fa servir per afirmar que tots els elements d'un conjunt compleixen amb una determinada propietat. Per exemple:

$\mathrm{\forall }x\in AP(x)$.

Aquesta afirmació sol usar-se com l'equivalent de la proposició següent:

$\{x\in A\mid P(x)\}=A$

Quantificació existencial

El quantificador existencial es fa servir per indicar que hi ha un o més elements en el conjunt $A$ (no necessàriament únic/s) que compleixen una determinada propietat. Es escriu:

$\mathrm{\exists }x\in A:p(x)$.

Aquesta proposició sol interpretar-se com l'equivalent de la proposició següent:

$\{x\in A\mid p(x)\}\ne \mathrm{\varnothing }$

Quantificació existencial única

El quantificador existencial amb marca d'unicitat es fa servir per indicar que hi ha un únic element d'un conjunt $A$ que compleix una determinada propietat. Es escriu:

$\mathrm{\exists }!x,y\in Ap(x),q(i)$.

Es llegeix "Hi ha una única parella d'elements de $A$ complint una pi una altra q"

Equivalències

Es defineixen:

$\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }x\in AP(x)\iff \mathrm{\exists }x\in A\mathrm{\neg }P(x)$

$\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x\in AP(x)\iff \mathrm{\forall }x\in A\mathrm{\neg }P(x)$

Vegeu també

• Teoria de conjunts
• Lògica de primer ordre