Quasigrup associatiu

En matemàtiques, un quasigrup associatiu és una estructura algebraica amb una llei de composició interna associativa i on la divisió és sempre possible.

Un quasigrup associatiu és també un grup

Partim del fet que un quasigrup associatiu, denotat com $(S,*)$, té una llei de composició interna associativa i la divisió és sempre possible en S.

Per definició de la divisibilitat, per a tot element a i b en S existeix un divisor y per l’esquerra i un divisor x per la dreta tals que $y*a=a*x=b$. Si prenem $a=b$, han d’existir un x i un y tals que $a*x=y*a=a$. Per la propietat associativa, podem operar a per l’esquerra o per la dreta i reagrupar les expressions sense alterar la igualtat: $a*(x*a)=a*(a*x)=a*a$. Si es treu a als dos costats, es té que $a*x=x*a=a$. A més, aquest element x és idempotent, ja que, operant per x a la dreta partint de $a*(x*x)=a*x$ i reagrupant l'expressió, s'obté que $x*x=x$. Sigui ara c un element en S tal que $x*c=a$. Llavors, es té que $(y*x)*c=y*a=a=x*c$. Per tant, $y*x=x=x*x$ i conseqüentment $y=x$. Anomenem $e=x=y$. Aquest element és l'element neutre, ja que per a tot element d en S es té que $e*d=(e*e)*d=d*e=d*(e*e)=d$.

A més, hi ha un element invers per a cada element del conjunt. Per a qualsevol element a en S, existeixen un divisor x i un divisor y tals que $y*a=a*x=e$. Si en aquest cas es demostra que $x=y$, llavors s'està provant que existeix un invers per a tot element a del conjunt. Sabem que $x=e*x$. Basant-nos en la primera proposició, tenim que $x=e*x=(y*a)*x$. Fent ús de la propietat associativa, $x=e*x=(y*a)*x=y*(a*x)$. Per acabar, substituint $a*x=e$, es conclou que $x=e*x=(y*a)*x=y*(a*x)=y*e=y$. Per tant, s'ha demostrat l'existència d'un element invers al conjunt.

Havent provat aquests dos punts, es pot afirmar que S és un grup.