Quasigrup associatiu

En matemàtiques, un quasigrup associatiu és una estructura algebraica amb una llei de composició interna associativa i on la divisió és sempre possible.

Un quasigrup associatiu és també un grup

Partim del fet que un quasigrup associatiu, denotat com $(S,\ast )$, té una llei de composició interna associativa i la divisió és sempre possible en S.

Per definició de la divisibilitat, per a tot element a i b en S existeix un divisor y per l’esquerra i un divisor x per la dreta tals que $y\ast a=a\ast x=b$. Si prenem $a=b$, han d’existir un x i un y tals que $a\ast x=y\ast a=a$. Per la propietat associativa, podem operar a per l’esquerra o per la dreta i reagrupar les expressions sense alterar la igualtat: $a\ast (x\ast a)=a\ast (a\ast x)=a\ast a$. Si es treu a als dos costats, es té que $a\ast x=x\ast a=a$. A més, aquest element x és idempotent, ja que, operant per x a la dreta partint de $a\ast (x\ast x)=a\ast x$ i reagrupant l'expressió, s'obté que $x\ast x=x$. Sigui ara c un element en S tal que $x\ast c=a$. Llavors, es té que $(y\ast x)\ast c=y\ast a=a=x\ast c$. Per tant, $y\ast x=x=x\ast x$ i conseqüentment $y=x$. Anomenem $e=x=y$. Aquest element és l'element neutre, ja que per a tot element d en S es té que $e\ast d=(e\ast e)\ast d=d\ast e=d\ast (e\ast e)=d$.

A més, hi ha un element invers per a cada element del conjunt. Per a qualsevol element a en S, existeixen un divisor x i un divisor y tals que $y\ast a=a\ast x=e$. Si en aquest cas es demostra que $x=y$, llavors s'està provant que existeix un invers per a tot element a del conjunt. Sabem que $x=e\ast x$. Basant-nos en la primera proposició, tenim que $x=e\ast x=(y\ast a)\ast x$. Fent ús de la propietat associativa, $x=e\ast x=(y\ast a)\ast x=y\ast (a\ast x)$. Per acabar, substituint $a\ast x=e$, es conclou que $x=e\ast x=(y\ast a)\ast x=y\ast (a\ast x)=y\ast e=y$. Per tant, s'ha demostrat l'existència d'un element invers al conjunt.

Havent provat aquests dos punts, es pot afirmar que S és un grup.