Radi espectral

Si $A$ és un endomorfisme sobre un espai de Banach complex $E$, hom anomena radi espectral de $A$, denotat $\rho (A)$, el radi de la bola tancada més petita de centre 0 que conté tots els valors espectrals de $A$. Sempre té un valor inferior o igual a la norma operacional de $A$.

En dimensió finita, per un endomorfisme amb valors propis complexes ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$, el radi espectral és igual a $\underset{i}{\max }\left|{\lambda }_i\right|$.

En conseqüència, per a tota norma matricial N, és a dir, per a tota àlgebra normada sobre $M_n(ℝ)$ (respectivament $M_n(ℂ)$) i per a tota matriu A de $M_n(ℝ)$ (respectivament $M_n(ℂ)$), es té que $\rho (A)\le N(A)$.

A més, hem demostrat que $\rho (A)=\inf N(A)$, la fita inferior presa sobre el conjunt de les normes subordinades, i d'aquí també sobre les àlgebres normades.

El teorema de Gelfand ens diu que el radi espectral $\rho (A)$ d'un endomorfisme $A$ ve donat per la fórmula

$\rho (A)=\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }\Vert A^n{\Vert }^{1/n}$.

Per un operador normal (en particular per un operador autoadjunt) sobre un espai de Hilbert H, el radi espectral és igual a la norma operacional. D'aquí, hom dedueix que per tot operador A sobre H, $\Vert A{\Vert }^2=\rho (A^{*}A)$.

El radi espectral pot ser estrictament inferior a la norma operacional. Per exemple, la matriu $M=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ té un radi espectral 0, però $M\ne 0$, d'on $\Vert M\Vert >0=\rho (M)$ (més precisament, $\Vert M\Vert =1$ perquè es té $\Vert M{\Vert }^2={\Vert }^{\mathrm{t}}MM\Vert =\rho {(}^{\mathrm{t}}MM)=1$).

Bibliografia

• Plantilla:Citar ref Plantilla:En

Vegeu també

• Espectre (anàlisi funcional)