Reducció d'ordre

En matemàtiques, la reducció d'ordre és una tècnica utilitzada per resoldre equacions diferencials ordinàries de segon ordre. Es fa servir quan la primera de dues solucions ($y_1$) és coneguda i es busca la segona ($y_2$).

Ús

Donada una equació diferencial

$y^{″}+p(t)y^{\prime }+q(t)y=0$

i una sola solució ($y_1(t)$), i sigui la segona solució definida per

$y_2=v(t)y_1(t)$

on $v(t)$ és una funció arbitrària. Així,

${y_2}^{\prime }=v^{\prime }(t)y_1(t)+v(t){y_1}^{\prime }(t)$

i

${y_2}^{″}=v^{″}(t)y_1(t)+2v^{\prime }(t){y_1}^{\prime }(t)+v(t){y_1}^{″}(t).$

Si se substitueixen per $y$, $y^{\prime }$, i $y^{″}$ a l'equació diferencial, llavors

$y_1(t)v^{″}+(2{y_1}^{\prime }(t)+p(t)y_1(t))v^{\prime }+({y_1}^{″}(t)+p(t){y_1}^{\prime }(t)+q(t)y_1(t))v=0.$

Com que $y_1(t)$ és solució de l'equació diferencial original, ${y_1}^{″}(t)+p(t){y_1}^{\prime }(t)+q(t)y_1(t)=0$, es pot reduir a

$y_1(t)v^{″}+(2{y_1}^{\prime }(t)+p(t)y_1(t))v^{\prime }=0$

que és una equació diferencial de primer ordre per $v^{\prime }(t)$. Dividint per $y_1(t)$, s'obté

$v^{″}+(\frac{2{y_1}^{\prime }(t)}{y_1(t)}+p(t))v^{\prime }=0$

i $v^{\prime }(t)$ es pot trobar fent servir el mètode general. Un cop s'ha trobat $v^{\prime }(t)$, s'integra i se substitueix a l'equació original per $y_2$:

$y_2=v(t)y_1(t).$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre

Referències

• Plantilla:En W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. Plantilla:ISBN.
• Plantilla:En Eric W. Weisstein, Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.