Regla de Sarrus

La regla de Sarrus : les diagonals contínues se sumen i les diagonals en traços es resten.

La regla de Sarrus és un mètode de fàcil memorització per calcular el determinant d'una matriu 3 × 3. Rep el seu nom del matemàtic francès Pierre Frédéric Sarrus.

Considereu la matriu 3 × 3:

$M=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$

El seu determinant es pot calcular de la següent manera:

En primer lloc, repetir les dues primeres columnes de la matriu a la dreta de la mateixa de manera que quedin cinc columnes en fila. Després sumar els productes de les diagonals descendents (en línia contínua) i sostreure els productes de les diagonals ascendents (en traços). Això resulta en:

$\det \left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=$

$=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{31}{a}_{22}{a}_{13}-a_{32}{a}_{23}{a}_{11}-a_{33}{a}_{21}{a}_{12}$

Un procés similar basat en diagonals també funciona amb matrius 2 × 2:

$\det \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}$

Ambdós casos són casos especials de la fórmula de Leibniz amb la qual en general no és possible obtenir esquemes de fàcil memorització similars per a matrius més grans.

Vegeu també

• Teorema de Laplace

Referències

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4-et Auflage, Vieweg 1985, Plantilla:ISBN, P.145 (en alemany)
• Regla de Sarrus a PlanetMath