Relació de Landsberg-Schaar

En la teoria de nombres i l'anàlisi harmònica, la relació de Landsberg-Schaar (o identitat de Landsberg-Schaar) és la següent equació, que és vàlida per als nombres enters positius p i q arbitraris:

$\frac{1}{\sqrt{p}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left(\frac{2\pi i{n}^{2}q}{p}\right)=\frac{e^{\frac{1}{4}\pi i}}{\sqrt{2q}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp (-\frac{\pi i{n}^{2}p}{2q}).$

Tot i que ambdues parts són meres sumes finites, encara no s'ha trobat cap prova per mètodes completament finits. La manera actual de demostrar-ho és posar $\tau =\frac{2\mathrm{i}q}{p}+\epsilon$ (on ε > 0) en aquesta identitat (realitzat per Jacobi, que és essencialment només un cas especial de la fórmula de sumatori de Poisson en l'anàlisi harmònica clàssica):

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\pi n^2\tau }=\frac{1}{\sqrt{\tau }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\pi \frac{n^2}{\tau }}$

i després fem ε → 0.

Si fem q = 1, la identitat es redueix a una fórmula de la suma quadràtica de Gauss de mòdul p.

La identitat de Landsberg-Schaar es pot reformular més simètricament com:

$\frac{1}{\sqrt{p}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left(\frac{\pi i{n}^{2}q}{p}\right)=\frac{e^{\frac{1}{4}\pi i}}{\sqrt{q}}\sum _{n=0}^{q-1}\exp (-\frac{\pi i{n}^{2}p}{q})$

sempre que afegim la hipòtesi que pq sigui un nombre parell.