Relació de Legendre
En matemàtiques, la relació de Legendre pot expressar-se en qualsevol de les dues formes: com a relació entre integrals el·líptiques completes, o com a relació entre els períodes i els quasi-períodes de les funcions el·líptiques. Les dues formes són equivalents a mesura que els períodes i els quasi-períodes es poden expressar en termes d'integrals el·líptiques completes. Es va introduir (per a integrals el·líptiques completes) per Legendre (1811)Plantilla:Sfn i Legendre (1825)Plantilla:Sfn.
Integrals el·líptiques completes
La relació de Legendre indicada amb integrals el·líptiques completes és:
on K i K′ són les integrals el·líptiques completes de primera espècie per a valors satisfactoris Plantilla:Nowrap, i E i E′ són les integrals el·líptiques completes de segona espècie.
Aquesta forma de relació de Legendre expressa el fet que el wronskià de les integrals el·líptiques completes (considerades com a solucions d'una equació diferencial) és una constant.
Funcions el·líptiques
La relació de Legendre indicada amb funcions el·líptiques és:
on i són els períodes de la funció el·líptica de Weierstrass, i i són els quasi-periods de la funció zeta de Weierstrass. Alguns autors les normalitzen d'una manera diferent per factors de 2, en aquest cas el costat dret de la relació de Legendre és o . Aquesta relació es pot provar integrant la funció zeta de Weierstrass sobre el límit d'una regió fonamental i aplicant el teorema dels residus de Cauchy.