Sèrie de Bell

En matemàtiques, una sèrie de Bell és una sèrie de potències formal utilitzada per estudiar les propietats de funcions aritmètiques. Les sèries de Bell van ser introduïdes i desenvolupades per Eric Temple Bell.

Donada una funció aritmètica $f$ i un nombre primer $p$, es defineix la sèrie de potències formal $f_p(x)$, anomenada sèrie de Bell de $f$ mòdul $p$, com a:

$F_p(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(p^n)x^n$

Es pot demostrar que dues funcions multiplicatives són idèntiques si totes les seves sèries de Bell són iguals: això de vegades s'anomena teorema d'unicitat. Donades les funcions multiplicatives $f$ i $g$, es té que $f=g$ si i només si:

$F_p(x)=g_p(x)$ per a tots els nombres primers $p$.

Dues sèries poden ser multiplicades (de vegades anomenat com teorema de multiplicació): per a dos funcions aritmètiques qualssevol $f$ i $g$, sigui $h=f*g$ la seva convolució de Dirichlet. Llavors, per a cada nombre primer $p$, es té que:

$H_p(x)=f_p(x)g_p(x).$

Més concretament, això converteix en trivial el fet de trobar la sèrie de Bell d'una inversa de Dirichlet.

Si $f$ és completament multiplicativa, llavors:

$F_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.$

Exemples

A continuació es mostren les sèries de Bell de funcions aritmètiques molt conegudes.

• La funció de Moebius $\mu$ té ${\mu }_p(x)=1-x.$
• La funció φ d'Euler $\phi$ té ${\phi }_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.$
• La identitat multiplicadora de la convolució de Dirichlet $\delta$ tiene ${\delta }_p(x)=1.$
• La funció de Liouville $\lambda$ té ${\lambda }_p(x)=\frac{1}{1+x}.$
• La funció potència Id_k té $({\text{Id}}_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-p^{k}x}.$ Aquí, Id_k és la funció completament multiplicativa ${\mathrm{Id}}_k(n)=n^k$.
• La funció divisor ${\sigma }_k$ té $({\sigma }_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-(1+p^k)x+p^k{x}^2}.$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre