Sèrie de Liouville-Neumann

En matemàtiques, la sèrie de Liouville-Neumann és una sèrie infinita que correspon a la tècnica resolvent de resolució de les equacions integrals de Fredholm en la teoria de Fredholm.

Definició

La sèrie Liouville-Neumann (iterativa) es defineix com

$\varphi \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^n{\varphi }_n\left(x\right)$

que, sempre que $\lambda$ sigui prou petita perquè la sèrie convergeixi, és la solució única contínua de l'equació integral de Fredholm de segon tipus,

Si el n-èsim nucli iterat es defineix com n−1 integrals niades de n operadors K,

$K_n(x,z)=\int \int \cdots \int K(x,y_1)K(y_1,y_2)\cdots K(y_{n-1},z)d{y}_{1}d{y}_2\cdots d{y}_{n-1}$

aleshores

${\varphi }_n\left(x\right)=\int K_n(x,z)f\left(z\right)dz$

amb

${\varphi }_0\left(x\right)=f\left(x\right),$

tan K₀ es pot considerar que sigui Plantilla:Math.

El resolvent (o resolvent el nucli per a l'operador integral) és llavors donat per una «sèrie geomètrica» analògica esquemàtica.

$R(x,z;\lambda )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^n{K}_n(x,z).$

on K₀ s'ha pres per ser Plantilla:Math.

Així doncs, la solució de l'equació integral esdevé simplement

$\varphi \left(x\right)=\int R(x,z;\lambda )f\left(z\right)dz.$

Es poden utilitzar mètodes similars per resoldre les equacions de Volterra.

Referències

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre