Sèrie de Mercator

En matemàtiques, la sèrie de Mercator o sèrie de Newton–Mercator és la sèrie de Taylor del logaritme natural:

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots .$

Escrita en notació de sumatori,

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n.$

La sèrie convergeix al logaritme natural (desplaçat en 1) quan −1 < x ≤ 1.

La sèrie va ser descoberta independentment per Nicholas Mercator, Isaac Newton i Gregory Saint-Vincent. Va ser publicada per primera vegada per Mercator, en el seu tractat Logarithmo-technica de 1668.

Derivació

La sèrie pot ser obtinguda a partir del teorema de Taylor, mitjançant el càlcul inductiu de la enésima derivada del ln x en x = 1, començant amb:

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.$

Alternativament, es pot començar amb la sèrie geomètrica finita (t ≠ −1)

$1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}=\frac{1-(-t{)}^n}{1+t}$

que dona

$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t}.$

Se segueix que

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{1+t}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t})dt$

i per integració terme a terme,

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1{)}^n\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n}{1+t}dt.$

Si −1 < x ≤ 1, el terme resta tendeix a 0 quan $n\to \mathrm{\infty }$. Aquesta expressió pot ser integrada iterativament k vegades més per obtenir:

$-x{A}_k(x)+B_k(x)\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)},$

on

$A_k(x)=\frac{1}{k!}\sum _{m=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m})x^m\sum _{l=1}^{k-m}\frac{(-x{)}^{l-1}}{l}$

i

$B_k(x)=\frac{1}{k!}(1+x{)}^k$

són polinomis en x.

Casos especials

Prenent x = 1 en la sèrie de Mercator s'obté la sèrie harmònica alternada.

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln 2.$

Sèrie complexa

La sèrie de potències complexa:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n}=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\cdots$

és la sèrie de Taylor de la funció complexa -log(1 - z), on log denota la branca principal del logaritme complex. Aquesta sèrie precisament convergeix per a tot nombre complex |z| ≤ 1, z ≠ 1. De fet, es pot veure mitjançant el criteri de d'Alembert, que aquesta té radi de convergència igual a 1, per tant, convergeix absolutament en tot disc B(0, r) amb radi r < 1. A més, aquesta convergeix en tot disc foradat $\overline{B(0,1)}\setminus B(1,\delta )$, amb δ > 0. Això és conseqüència immediata de la identitat algebraica:

$(1-z)\sum _{n=1}^m\frac{z^n}{n}=z-\sum _{n=2}^m\frac{z^n}{n(n-1)}-\frac{z^{m+1}}{m},$

Observi's que el costat dret és uniformement convergent en tot el disc tancat unitat.

Bibliografia

• Weisstein, Eric W. Plantilla:Mathworld
• Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10.
• Some Contemporaries of Descartis, Fermat, Pascal and Huygens from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by Walter William Rouse Ball