Sèries hipergeomètriques de Lauricella

En matemàtiques, les sèries hipergeomètriques de Lauricella són quatre sèries hipergeomètriques de tres variables (F_A, F_B, F_C, F_D) definides i estudiades l'any 1893 pel matemàtic Giuseppe Lauricella Plantilla:Harv:

$F_A^{(3)}(a,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3;x_1,x_2,x_3)=\sum _{i_1,i_2,i_3=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+i_2+i_3}(b_1{)}_{i_1}(b_2{)}_{i_2}(b_3{)}_{i_3}}{(c_1{)}_{i_1}(c_2{)}_{i_2}(c_3{)}_{i_3}{i}_1!i_2!i_3!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}{x}_3^{i_3}$

per a |x₁| + |x₂| + |x₃| < 1, i

$F_B^{(3)}(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c;x_1,x_2,x_3)=\sum _{i_1,i_2,i_3=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1{)}_{i_1}(a_2{)}_{i_2}(a_3{)}_{i_3}(b_1{)}_{i_1}(b_2{)}_{i_2}(b_3{)}_{i_3}}{(c{)}_{i_1+i_2+i_3}{i}_1!i_2!i_3!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}{x}_3^{i_3}$

per a |x₁| < 1, |x₂| < 1, |x₃| <1, i

$F_C^{(3)}(a,b,c_1,c_2,c_3;x_1,x_2,x_3)=\sum _{i_1,i_2,i_3=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+i_2+i_3}(b{)}_{i_1+i_2+i_3}}{(c_1{)}_{i_1}(c_2{)}_{i_2}(c_3{)}_{i_3}{i}_1!i_2!i_3!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}{x}_3^{i_3}$

per a |x₁|^1/2 + |x₂|^1/2 + |x₃|^1/2 < 1, i

$F_D^{(3)}(a,b_1,b_2,b_3,c;x_1,x_2,x_3)=\sum _{i_1,i_2,i_3=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+i_2+i_3}(b_1{)}_{i_1}(b_2{)}_{i_2}(b_3{)}_{i_3}}{(c{)}_{i_1+i_2+i_3}{i}_1!i_2!i_3!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}{x}_3^{i_3}$

per a |x₁| < 1, |x₂| < 1, |x₃| < 1.

El símbol de Pochhammer (q)_i indica l'i-è factor creixent de q, és a dir

$(q{)}_i=q(q+1)\cdots (q+i-1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(q+i)}{\mathrm{\Gamma }(q)},$

on la segona igualtat és certa per a tot complex $q$ excepte $q=0,-1,-2,\dots$

Aquestes funcions es poden estendre a altres valors de les variables x₁, x₂, x₃ mitjançant continuació analítica.

Lauricella també va indicar l'existència d'altres deu funcions hipergeomètriques de tres variables. Aquests van ser anomenats F_E, F_F ,... , F_T estudiades per Shanti Saran el 1954 Plantilla:Harv. Per tant, hi ha un total de 14 funcions hipergeomètriques de Lauricella–Saran.

Generalització a n variables

Aquestes funcions es poden estendre directament a n variables. Hom escriu, per exemple,

$F_A^{(n)}(a,b_1,\dots ,b_n,c_1,\dots ,c_n;x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i_1,\dots ,i_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+\cdots +i_n}(b_1{)}_{i_1}\cdots (b_n{)}_{i_n}}{(c_1{)}_{i_1}\cdots (c_n{)}_{i_n}{i}_1!\cdots i_n!}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n},$

on |x₁| +... + |x_n| < 1. Aquestes sèries generalitzades també es coneixen de vegades com a funcions de Lauricella.

Quan n = 2, les funcions de Lauricella corresponen a la sèrie hipergeomètrica d'Appell de dues variables:

$F_A^{(2)}\equiv F_2,F_B^{(2)}\equiv F_3,F_C^{(2)}\equiv F_4,F_D^{(2)}\equiv F_1.$

Quan n = 1, les quatre funcions es redueixen a la funció hipergeomètrica de Gauss:

$F_A^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_B^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_C^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_D^{(1)}(a,b,c;x)\equiv {}_2{F}_1(a,b;c;x).$

Representació integral de F _D

En analogia amb la funció d'Appell <i id="mwfg">F</i><sub id="mwfw">1</sub>, la funció F_D de Lauricella es pot escriure com a una integral de tipus Euler unidimensional per a qualsevol nombre n de variables:

$F_D^{(n)}(a,b_1,\dots ,b_n,c;x_1,\dots ,x_n)=\frac{\mathrm{\Gamma }(c)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(c-a)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{c-a-1}(1-x_{1}t{)}^{-b_1}\cdots (1-x_{n}t{)}^{-b_n}\mathrm{d}t,\mathrm{Re}c>\mathrm{Re}a>0.$

Aquesta representació es pot verificar fàcilment mitjançant l'expansió de Taylor de l'integrand, seguida de la integració de termes. La representació implica que la integral el·líptica incompleta Π és un cas especial de la funció de Lauricella F_D amb tres variables:

$\mathrm{\Pi }(n,\varphi ,k)=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{(1-n{\sin }^2\theta )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}=\sin (\varphi )F_D^{(3)}(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2};n{\sin }^2\varphi ,{\sin }^2\varphi ,k^2{\sin }^2\varphi ),|\mathrm{Re}\varphi |<\frac{\pi }{2}.$

Solucions de suma finita de F _D

Cas 1: $a>c$, $a-c$ un nombre sencer positiu

Es pot relacionar F _D amb la funció R de Carlson $R_n$ via

$F_D(a,\bar{b},c,\bar{z})=R_{a-c}(\overline{b^{*}},\overline{z^{*}})\cdot \prod _i(z_i^{*}{)}^{b_i^{*}}=\frac{\mathrm{\Gamma }(a-c+1)\mathrm{\Gamma }(b^{*})}{\mathrm{\Gamma }(a-c+b^{*})}\cdot D_{a-c}(\overline{b^{*}},\overline{z^{*}})\cdot \prod _i(z_i^{*}{)}^{b_i^{*}}$

amb la suma iterativa

$D_n(\overline{b^{*}},\overline{z^{*}})=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(\sum _{i=1}^N{b}_i^{*}\cdot (z_i^{*}{)}^k)\cdot D_{k-i}$ i $D_0=1$

on es pot aprofitar que la funció R de Carlson per $n>0$ té una representació exacta (vegeu per a més informació).

Els vectors es defineixen com a

$\overline{b^{*}}=[\bar{b},c-\sum _i{b}_i]$

$\overline{z^{*}}=[\frac{1}{1-z_1},\dots ,\frac{1}{1-z_{N-1}},1]$

on la longitud de $\bar{z}$ i $\bar{b}$ és $N-1$, mentre que els vectors $\overline{z^{*}}$ i $\overline{b^{*}}$ tenen longitud $N$.

Cas 2: $c>a$, $c-a$ un nombre sencer positiu

En aquest cas també hi ha una forma analítica coneguda, però és bastant complicat d'escriure i comporta diversos passos. Vegeu per a més informació.

Referències

• Plantilla:Ref-llibre (see p. 114)
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació (corrigendum 1956 in Ganita 7, p. 65)
• Plantilla:Ref-llibre (there is a 2008 paperback with Plantilla:ISBN)
• Plantilla:Ref-llibre (there is another edition with Plantilla:ISBN)