Sinus del topòleg

El sinus del topòleg, dins l'entorn de topologia, és una corba continguda en ${ℝ}^2$ utilitzada sovint per il·lustrar determinades propietats dels espais topològics. S'utilitza especialment a manera d'exemple d'espai topològic que és connex però no connex per camins.

Definició

Una definició usual del sinus del topòleg és l'adherència de la corba

$A=\{(x,\text{sin}\left(\frac{1}{x}\right)),x\in (0,1]\}$,

presentada $\overline{A}$, i que es defineix al seu torn com la unió de $A$ amb el seu frontera, el segment

$\partial A=\{(0,i),i\in [-1,1]\}$

A mesura que x s'acosta a zero, 1/x creix cada vegada més ràpid (de fet, tendeix a infinit), per la qual cosa la freqüència de la corba sinusoidal també és cada vegada més gran. Al límit, la freqüència és infinita.

Variants

De vegades, es considera només $A$, o la unió de $A$ amb el punt $(0,0)$. També es pot considerar la funció $f(x)=\text{sin}(\frac{1}{x})$ definida en un interval diferent de (0,1], encara que sempre en un interval obert a 0. Fins i tot es pot fer distinció entre la "corba tancada» ($\overline{A}$) i la« corba oberta »($A$) del sinus del topòleg.

Propietats

La funció $f(x)=\text{sin (1/x)},f(0)=0$ no és de variació fitada.

Com adherència d'una funció contínua, $\overline{A}$ és un espai connex. Tanmateix, no és connex per camins, ja que no hi ha un camí $f:[0,1]\to \overline{A}$ que uneixi els punts $(1,\text{sin}(1))$ i $(0,0)$. Per veure que és així, considerem la successió formada pels punts, presos de dreta a esquerra en la gràfica, la segona component és alternativament +1 o -1. Aquesta successió no convergeix.