Solució fonamental

En matemàtiques, una solució fonamental per a un operador diferencial parcial lineal Plantilla:Mvar és una formulació en el llenguatge de la teoria de la distribució de la idea més antiga d'una funció de Green (tot i que a diferència de les funcions de Green, les solucions fonamentals no aborden les condicions de contorn).

En termes de la "funció" delta de Dirac Plantilla:Math, una solució fonamental Plantilla:Mvar és una solució de l'equació no homogènia

Aquí Plantilla:Mvar només s'assumeix a priori que és una distribució.

Aquest concepte s'ha utilitzat durant molt de temps per al laplacià en dues i tres dimensions. Va ser investigat per a totes les dimensions per al Laplacià per Marcel Riesz.

L'existència d'una solució fonamental per a qualsevol operador amb coeficients constants —el cas més important, directament relacionat amb la possibilitat d'utilitzar la convolució per resoldre un costat dret arbitrari— va ser demostrat per Bernard Malgrange i Leon Ehrenpreis, i una prova està disponible a Joel. Smoller (1994). En el context de l'anàlisi funcional, les solucions fonamentals es desenvolupen normalment mitjançant l'alternativa de Fredholm i s'exploren en la teoria de Fredholm.

Exemple

Considereu la següent equació diferencial Plantilla:Math amb $$L=\frac{d^2}{d{x}^2}.$$

Les solucions fonamentals es poden obtenir resolent Plantilla:Math, explícitament, $$\frac{d^2}{d{x}^2}F(x)=\delta (x).$$Ja que per a la funció de pas d'unitat (també coneguda com a funció Heaviside) tenim Plantilla:Mvar

$$\frac{d}{dx}H(x)=\delta (x),$$ hi ha una solució $$\frac{d}{dx}F(x)=H(x)+C.$$ Aquí Plantilla:Mvar és una constant arbitrària introduïda per la integració. Per comoditat, poseu Plantilla:Math.

Després d'integrar-se $\frac{dF}{dx}$ i escollint la nova constant d'integració com a zero, un té $$F(x)=xH(x)-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}|x|.$$

Motivació

Un cop trobada la solució fonamental, és fàcil trobar una solució de l'equació original, mitjançant la convolució de la solució fonamental i el costat dret desitjat.

Les solucions fonamentals també tenen un paper important en la solució numèrica d'equacions en derivades parcials mitjançant el mètode dels elements límit.

Aplicació a l'exemple

Considereu l'operador Plantilla:Mvar i l'equació diferencial esmentada a l'exemple, $$\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)=\sin (x).$$Podem trobar la solució

$f(x)$ de l'equació original per convolució (indicada amb un asterisc) del costat dret $\sin (x)$ amb la solució fonamental $F(x)=\frac{1}{2}|x|$ : $$f(x)=(F*\sin )(x):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{2}|x-y|\sin (y)dy.$$Això demostra que s'ha de tenir certa cura quan es treballa amb funcions que no tenen prou regularitat (per exemple, suport compacte, integrabilitat L ¹ ) ja que, sabem que la solució desitjada és Plantilla:Math, mentre que l'anterior la integral divergeix per a tota Plantilla:Mvar. Les dues expressions de Plantilla:Mvar són, però, iguals com a distribucions.

Un exemple que funciona més clarament

$$\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)=I(x),$$ on Plantilla:Mvar és la funció característica (indicadora) de l'interval unitari [ 0,1 ]. En aquest cas, es pot comprovar que la convolució de Plantilla:Math amb Plantilla:Math és $$(I*F)(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4},& 0\le x\le 1\\ |\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}|,& \text{altrament}\end{array}$$ que és una solució, és a dir, té la segona derivada igual a Plantilla:Mvar