Subespai vectorial

Plantilla:Falten referències En àlgebra lineal, donat un espai vectorial E sobre un cos K, un subespai vectorial de E és una part no buida F de E estable per a les combinacions lineals

. En altres paraules, aquesta part ha de verificar:

• La suma vectorial de dos vectors de F pertany a F;
• La multiplicació d'un vector de F per un escalar pertany a F.

Aquestes condicions imposen que el vector nul pertanyi a F. Proveït de les lleis induïdes F és un K-espai vectorial. L'espai nul $\{0\}$ i l'espai total $E$ són respectivament els subespais vectorials més petit i més gran de E. En general, una unió finita de subespais vectorials no és estable per combinacions lineals. Tanmateix, donada una família $(F_i{)}_{i\in I}$ de subespais vectorials de E, la seva intersecció és un subespai vectorial de E. La suma de la família $(F_i{)}_{i\in I}$ és el subespai més petit que contingui tots els F_i.

Definició equivalent

El subconjunt F és un $𝕂$-subespai vectorial de E, si i només si:

• $F\subset E$
• $F\ne \mathrm{\varnothing }$ ;
• $\mathrm{\forall }u,v\in F,u+v\in F$ ;
• $\mathrm{\forall }\lambda \in 𝕂,\mathrm{\forall }u\in F,\lambda u\in F$.

Això equival a:

• $F\subset E$
• $F\ne \mathrm{\varnothing }$;
• $\mathrm{\forall }u,v\in F,\mathrm{\forall }\lambda ,\beta \in 𝕂,\lambda u+\beta v\in F$.

En altres paraules, F és un subespai vectorial de E, si i només si no és buit i és estable per a les combinacions lineals.

Nota: en tot espai vectorial E no reduït a $\{0\}$, hi ha almenys dos subespais vectorials. Són $\{0\}$ i E mateix: se'n diu els dos subespais vectorials trivials.

Observació 1: un subespai vectorial F de E conté necessàriament el vector nul $0_E$ de E (en efecte, com que F és no buit, existeix almenys un element $u_0$ de F; llavors, per a tot $\lambda$ en $𝕂$, $\lambda u_0$ pertany a F; la tria $\lambda =0$ dona $0_E=0\cdot u_0\in F$).

És per això, quan es tracta de demostrar que un subconjunt F de E és un subespai vectorial de E, sovint es comença comprovant que F no sigui buit assegurant-se que conté el vector nul (si no el conté, immediatament hi ha contradicció).

Observació 2: quan E no es redueix a $\{0\}$, es defineix en el conjunt $G=E\setminus \{0_E\}$ una relació d'equivalència R que consisteix a dir que dos elements V i W estan relacionats per R si existeix un element k no nul del cos commutatiu K tal que W = k V. Llavors P, el conjunt quocient de G per R, té una estructura molt rica d'espai projectiu.

Intersecció de dos subespais vectorials

Propietat

Siguin $F_1$ i $F_2$ dos subespais vectorials de E. Llavors:

• $F_1\cap F_2$ és un subespai vectorial de E.

Més generalment, tota intersecció de subespais vectorials és un subespai vectorial, és a dir que: per a tota família $(F_i{)}_{i\in I}$ de subespais vectorials de $E$, ${\cap }_{i\in I}{F}_i$ és un subespai vectorial de $E$.

Unió de subespais vectorials

En el cas general, l'estructura de subespai vectorial no és estable per la unió. Existeix dues proposicions que tracten aquest cas.

• E és aquí de dimensió finita, i el seu cos associat és de cardinal infinit. Si $(F_i)$ és una família finita de subespais vectorials de E tots diferents de E, llavors la unió de la família $(F_i)$ és diferent de E.

• Si $(F_i)$ és una família de subespais vectorials de E tal que la unió de dos elements d'aquesta família sempre estigui inclosa en un tercer element de la família, llavors la unió de la família $(F_i)$ és un subespai vectorial de E.

Suma d'un o diversos espais vectorials

Definició

Siguin $F_1$ i $F_2$ dos subespais vectorials de E. Es defineix el subconjunt següent de E:

$F_1+F_2=\{x\in E/\mathrm{\exists }{x}_1\in F_1,\mathrm{\exists }{x}_2\in F_2,x=x_1+x_2\}$.

Propietat i definició

• $F_1+F_2$ és un subespai vectorial de E que conté a la vegada $F_1$ i $F_2$. Se l'anomena suma de $F_1$ i $F_2$.
• Si F és un subespai vectorial de E que conté a la vegada $F_1$ i $F_2$, llavors $F_1+F_2\subset F$.

És per què es diu que $F_1+F_2$ és el subespai vectorial més petit de E que conté $F_1\cup F_2$. Això equival a:

• $F_1+F_2$ és la intersecció de tots els subespai vectorials de E que contenen $F_1\cup F_2$.

Nota: la unió de dos subespais vectorials no és, en general, un subespai vectorial; perquè ho sigui, cal i n'hi ha prou que un dels dos estigui inclòs en l'altre.

Generalització

Siguin $F_1,F_2,\dots ,F_m$ m subespais vectorials de E. Es defineix el subconjunt següent de E:

$\sum _{i=1}^m{F}_i=\{x\in E/\mathrm{\exists }(x_1,x_2,\dots ,x_m)\in F_1\times F_2\times \cdots \times F_m,x=x_1+x_2+\cdots +x_m\}$.

És el conjunt dels vectors de E que admeten almenys una descomposició en suma de vectors que pertanyen a respectivament als subespais vectorials $F_1,F_2,\dots ,F_m$ (si aquesta descomposició és a més única, la suma dels subespais s'anomena directa.

Llavors:

• $\sum _{i=1}^m{F}_i$ és un subespai vectorial de E que conté a la vegada $F_1,F_2,\dots ,F_m$. Se l'anomena suma d'aquests subespais.
• Si F és un subespai vectorial de E que conté a la vegada $F_1,F_2,\dots ,F_m$, llavors $\sum _{i=1}^m{F}_i\subset F$.

Es diu també que $\sum _{i=1}^m{F}_i$ és el subespai vectorial més petit de E que conté $F_1\cup F_2\cup \cdots \cup F_m$.

Subespai vectorial generat

Definició

Sigui A una part qualsevol de E.

• Si A és no buit, es defineix el subconjunt següent de E:

$\text{Vect}(A)=\{\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i/n\in {\mathbb{N}}^{\star },{\lambda }_i\in 𝕂,x_i\in A\}$.

(així, $\text{Vect}(A)$ és per definició el conjunt de les combinacions lineals d'elements de A).

• Es completa aquesta definició posant $\text{Vect}(\mathrm{\varnothing })=\{0_E\}$.

Propietat 1

Sigui A una part de E .

• El conjunt $\text{Vect}(A)$ és un subespai vectorial de E, i conté A.
• Si F és un subespai vectorial de E que conté A, llavors $\text{Vect}(A)\subset F$.

És per això que es diu que $\text{Vect}(A)$ és el subespai vectorial més petit de E que contenint A.

Se l'anomena subespai vectorial de E generat per A.

• El subespai vectorial generat per A és la intersecció de tots els subespais vectorials de E que contenen A.

Nota: es considera l'aplicació $\phi :𝒫(E)\to 𝒫(E),A\mapsto \text{Vect}(A)$, on $𝒫(E)$ designa el conjunt de les parts de E.

Es designa per A i B dues parts qualssevol de E. Resulta de la propietat precedent que:

• L'aplicació $\phi$ és creixent: si $A\subset B$, llavors $\text{Vect}(A)\subset \text{Vect}(B)$.
• L'aplicació $\phi$ és extensiva: $A\subset \text{Vect}(A)$.
• L'aplicació $\phi$ és idempotent: ${\text{Vect}}^{″}\text{Vect}(A^{″}=\text{Vect}(A)$

Es diu llavors que $\phi$ és una clausura. Els subespais vectorials de E són els punts fixos de $\phi$:

• Perquè una part A de E sigui un subespai vectorial de E, cal i n'hi ha prou que $\text{Vect}(A)=A$.

Propietat 2

Siguin A i B dues parts de E. Llavors:

• $\text{Vect}(A)+\text{Vect}(B)=\text{Vect}(A\cup B)$

Espai vectorial finit

Sigui K un cos finit de cardinal q, i sigui E un K-espai vectorial de dimensió finita n sobre K. Llavors el conjunt E és finit de cardinal q ⁿ . Posseeix un nombre finit de subespais vectorials. El nombre de subespais de dimensió k val

$\frac{(q^n-1)(q^n-q)\dots (q^n-q^{k-1})}{(q^k-1)(q^k-q)\dots (q^k-q^{k-1})}$.

Aquesta quantitat és el quocient del nombre de famílies lliures a k elements de E pel nombre de les bases en un K-espai vectorial de dimensió k.