Tensor de Killing-Yano

En Geometria riemanniana, un tensor de Killing-Yano és una generalització del concepte de vector de Killing a un tensor de dimensió superior. Van ser introduïts l'any 1952 per Kentaro Yano. Un tensor antisimètric d'ordre p $f_{a_1{a}_2...a_p}$és anomenat de Killing-Yano quan verifica l'equació:

$D_b{f}_{c{a}_2...a_p}+D_c{f}_{b{a}_2...a_p}=0$

Aquesta equació difereix de la generalització habitual del concepte de vector de Killing a tensors d'ordre superior, anomenats tensors de Killing pel fet que la derivada covariant D és simetritzada amb un únic índex del tensor i no amb la seva totalitat, com és el cas per als tensors de Killing.

Tensors de Killing-Yano trivials

Tot vector de Killing és un tensor de Killing d'ordre 1 i un tensor de Killing-Yano.

El tensor completament antisimètric (anomenat tensor de Levi-Civita) ${ϵ}_{a_1{a}_2...a_n}$, on n és la dimensió de la varietat, és un tensor de Killing-Yano, amb derivada covariant sempre nul·la.

Construcció dels tensors de Killing a partir dels tensors de Killing-Yano

Existeixen diverses maneres de construir els tensors de Killing (simètrics) a partir dels tensors de Killing-Yano. Primerament, es poden obtenir dos tensors de Killing trivials a partir de tensors de Killing-Yano :

• A partir d'un tensor de Killing-Yano d'ordre 1 ${\xi }_a$, es pot construir un tensor de Killing $K_{ab}$ d'ordre de 2 segons

$K_{ab}={\xi }_a{\xi }_b$

• A partir del tensor completament antisimètric${ϵ}_{a_1{a}_2...a_n}$ ${ϵ}_{a_1{a}_2...a_n}$${ϵ}_{a_1{a}_2...a_n}$, es pot construir el tensor de Killing trivial${ϵ}_{a_1{a}_2...a_n}$

$K_{ab}={ϵ}_{b{a}_2...a_n}{ϵ}^{a_2...a_{n}c}{g}_{ca}=-6g_{ab}$

De manera més interessant, a partir de dos tensors de Killing-Yano d'ordre 2 $A_{ab}$ i $B_{ab}$, es pot construir el tensor de Killing d'ordre 2 $K_{ab}$ segons

$K_{ab}=g^{cd}(A_{ac}{B}_{db}+B_{ac}{A}_{db})$

A partir d'un tensor de Killing-Yano d'ordre n-1, $A_{a_2...a_n}$, es pot construir el vector associat al sentit d'Hodge (veure Dualitat d'Hodge),

$A^a={ϵ}^{a{a}_2...a_n}{A}_{a_2...a_n}$

Del fet que el tensor $A_{a_2...a_n}$ és de Killing-Yano, el vector A no és Killing-Yano, però obeeix l'equació.

$D_a{A}_b=\frac{1}{n}{g}_{ab}{D}_c{A}^c$

Aquesta propietat permet construït un tensor de Killing $K_{ab}$ a partir de dos vectors com aquests, definit per:

$K_{ab}=A_a{B}_b+A_b{B}_a-2A^c{B}_c{g}_{ab}$

Tota combinació lineal de tensors de Killing-Yano és igualment un tensor de Killing-Yano

Propietats

Un cert nombre de propietats dels espaitemps quadridimensionnels implides en els tensors de Killing-Yano han estat exposades per C. D. Collinson i H. Stephani al voltant dels anys 1970.Plantilla:,

• Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano no degenerat, llavors aquest pot escriure's sota la forma

$A_{ab}=X(l_a{k}_b-k_a{l}_b)+iY(m_a{\overline{m}}_b-{\overline{m}}_a{m}_b)$

on k, l, m i $\overline{m}$ formen una tètrade i les funcions X i Y obeeixen un cert nombre d'equacions diferencials. A més, el tensor de Killing-Yano va obeeix la relació següent amb el tensor de Ricci:Plantilla:,

$R_a^c{A}_{cb}+R_b^c{A}_{ca}=0$

• Les solucions a les equacions d'Einstein en el buit i de tipus D en la classificació de Petrov admeten un tensor de Killing i un tensor de Killing-Yano, tots dos d'ordre 2 i regits per la fórmula de més amunt.Plantilla:,

• Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano d'ordre 2 degenerat $A_{ab}$, llavors aquest s'escriu segons la forma:

$A_{ab}=k_a{p}_b-p_a{k}_b$

on k és un vector de Killing de gènere llum. El tensor de Weyl és en aquest cas de tipus N segons la classificació de Petrov, i k és el seu vector net no trivial. A més, a compleix la relació donada més amunt amb el tensor de Riemann.Plantilla:,

• Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano d'ordre 3, llavors si el vector associat per dualitat de Hodge és un vector de gènere llum constant, llavors l'espai és conformament pla.Plantilla:,

Vegeu també

• Tensor de Killing

Bibliografia

• (en) D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum et E. Herlt, Exact solutions of Einstein's field equations, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, 428 p. (Plantilla:ISBN), pages 349 à 352.