Teorema d'Euler

En matemàtiques, i en particular en aritmètica modular, el teorema d'Euler és un teorema, anomenat així en honor del matemàtic suís Leonhard Euler, que estableix que

Aquest teorema és una generalització del petit teorema de Fermat (que no tracta més que el cas on n és un nombre primer), i al seu torn és una cas particular del teorema de Carmichaël.

Aquest teorema permet simplificar el càlcul de les potències mòdul n. Per exemple, si es vol trobar el valor de $7^{222}$ mòdul $10$, és a dir trobar a quina classe és congruent $7^{222}$ mòdul $10$, n'hi ha prou amb veure que 7 i 10 són primers entre ells, i que $\phi (10)=4$. Per tant, el teorema d'Euler indica que

$7^4\equiv 1modn.$

se'n dedueix que

$7^{222}\equiv 7^{4\times 55+2}\equiv (7^4{)}^{55}\times 7^2\equiv 1^{55}\times 7^2\equiv 49\equiv 9mod10.$

Per tant, la xifra buscada és $9$.

Enllaços externs

• Eric W. Weisstein, Teorema d'Euler a MathWorld.